Calcolo Esempi

$y d x = (e^{y} + 2 x y - 2 x) d y$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale per adattarla alla tecnica di equazione differenziale esatta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sottrai $(e^{y} + 2 x y - 2 x) d y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y d x - (e^{y} + 2 x y - 2 x) d y = 0$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Passaggio 3

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = - (e^{y} + 2 x y - 2 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (e^{y} + 2 x y - 2 x)]$

Passaggio 3.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- (e^{y} + 2 x y - 2 x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [e^{y} + 2 x y - 2 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [e^{y} + 2 x y - 2 x]$

Passaggio 3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{y} + 2 x y - 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Passaggio 3.4

Poiché $e^{y}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $e^{y}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Passaggio 3.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Passaggio 3.6

Poiché $2 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x y$ rispetto a $x$ è $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Passaggio 3.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Passaggio 3.8

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Passaggio 3.9

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y - 2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y - 2 \cdot 1)$

Passaggio 3.11

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y - 2)$

Passaggio 3.12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y) - - 2$

Passaggio 3.12.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.2.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y - - 2$

Passaggio 3.12.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y + 2$

Passaggio 4

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $1$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- 2 y + 2$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$1 = - 2 y + 2$

Passaggio 4.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$1 = - 2 y + 2$ non è un'identità.

Passaggio 5

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci $- 2 y + 2$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 2 y + 2 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Passaggio 5.2

Sostituisci $1$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 2 y + 2 - 1}{M}$

Passaggio 5.3

Sostituisci $y$ a $M$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sostituisci $y$ a $M$ .

$\frac{- 2 y + 2 - 1}{y}$

Passaggio 5.3.2

Sottrai $1$ da $2$ .

$\frac{- 2 y + 1}{y}$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $- 1$ da $- 2 y$ .

$\frac{- (2 y) + 1}{y}$

Passaggio 5.3.4

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (2 y) - 1 (- 1)}{y}$

Passaggio 5.3.5

Scomponi $- 1$ da $- (2 y) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (2 y - 1)}{y}$

Passaggio 5.3.6

Riscrivi $- (2 y - 1)$ come $- 1 (2 y - 1)$ .

$\frac{- 1 (2 y - 1)}{y}$

Passaggio 5.3.7

Sostituisci $y$ a $M$ .

$- \frac{2 y - 1}{y}$

Passaggio 5.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2 y - 1}{y} d y}$

Passaggio 6

Valuta l'integrale $e^{\int - \frac{2 y - 1}{y} d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2 y - 1}{y} d y}$

Passaggio 6.2

Dividi $2 y - 1$ per $y$ .

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Passaggio 6.2.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$y$

$0$

$2 y$

$1$

Passaggio 6.2.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $2 y$ per il termine di ordine più alto nel divisore $y$ .

					$2$
	$y$	+	$0$		$2 y$	-	$1$

Passaggio 6.2.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2$
$y$	+	$0$		$2 y$	-	$1$
			+	$2 y$	+	$0$

Passaggio 6.2.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $2 y + 0$

				$2$
$y$	+	$0$		$2 y$	-	$1$
			-	$2 y$	-	$0$

Passaggio 6.2.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2$
$y$	+	$0$		$2 y$	-	$1$
			-	$2 y$	-	$0$
					-	$1$

Passaggio 6.2.6

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$μ (x, y) = e^{- \int 2 - \frac{1}{y} d y}$

Passaggio 6.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$μ (x, y) = e^{- (\int 2 d y + \int - \frac{1}{y} d y)}$

Passaggio 6.4

Applica la regola costante.

$μ (x, y) = e^{- (2 y + C + \int - \frac{1}{y} d y)}$

Passaggio 6.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- (2 y + C - \int \frac{1}{y} d y)}$

Passaggio 6.6

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (2 y + C - (\ln (| y |) + C))}$

Passaggio 6.7

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{- 2 y + \ln (| y |)} + C$

Passaggio 7

Moltiplica entrambi i lati di $y d x - (e^{y} + 2 x y - 2 x) d y = 0$ per il fattore di integrazione $e^{- 2 y + \ln (y)}$ .

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Passaggio 7.1

Moltiplica $y$ per $e^{- 2 y + \ln (y)}$ .

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x - (e^{y} + 2 x y - 2 x) d y = 0$

Passaggio 7.2

Moltiplica $- (e^{y} + 2 x y - 2 x)$ per $e^{- 2 y + \ln (y)}$ .

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x - (e^{y} + 2 x y - 2 x) e^{- 2 y + \ln (y)} d y = 0$

Passaggio 7.3

Applica la proprietà distributiva.

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x + (- e^{y} - (2 x y) - (- 2 x)) e^{- 2 y + \ln (y)} d y = 0$

Passaggio 7.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x + (- e^{y} - 2 (x y) - (- 2 x)) e^{- 2 y + \ln (y)} d y = 0$

Passaggio 7.4.2

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x + (- e^{y} - 2 (x y) + 2 x) e^{- 2 y + \ln (y)} d y = 0$

Passaggio 7.5

Applica la proprietà distributiva.

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x + (- e^{y} e^{- 2 y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}) d y = 0$

Passaggio 7.6

Moltiplica $e^{y}$ per $e^{- 2 y + \ln (y)}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 7.6.1

Sposta $e^{- 2 y + \ln (y)}$ .

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x + (- (e^{- 2 y + \ln (y)} e^{y}) - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}) d y = 0$

Passaggio 7.6.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x + (- e^{- 2 y + \ln (y) + y} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}) d y = 0$

Passaggio 7.6.3

Somma $- 2 y$ e $y$ .

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x + (- e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}) d y = 0$

Passaggio 8

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y e^{- 2 y + \ln (y)} d x$

Passaggio 9

Integra $M (x, y) = y e^{- 2 y + \ln (y)}$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Applica la regola costante.

$f (x, y) = y e^{- 2 y + \ln (y)} x + C$

Passaggio 10

Poiché l'integrale di $g (y)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = y e^{- 2 y + \ln (y)} x + g (y)$

Passaggio 11

Imposta $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Passaggio 12

Trova $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Passaggio 12.1

Differenzia $f$ rispetto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [y e^{- 2 y + \ln (y)} x + g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Passaggio 12.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y e^{- 2 y + \ln (y)} x + g (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y e^{- 2 y + \ln (y)} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y e^{- 2 y + \ln (y)} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Passaggio 12.3

Calcola $\frac{d}{d y} [y e^{- 2 y + \ln (y)} x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $y e^{- 2 y + \ln (y)} x$ rispetto a $y$ è $x \frac{d}{d y} [y e^{- 2 y + \ln (y)}]$ .

$x \frac{d}{d y} [y e^{- 2 y + \ln (y)}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Passaggio 12.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = y$ e $g (y) = e^{- 2 y + \ln (y)}$ .

$x (y \frac{d}{d y} [e^{- 2 y + \ln (y)}] + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Passaggio 12.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = e^{y}$ e $g (y) = - 2 y + \ln (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- 2 y + \ln (y)$ .

$x (y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- 2 y + \ln (y)]) + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Passaggio 12.3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x (y (e^{u} \frac{d}{d y} [- 2 y + \ln (y)]) + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Passaggio 12.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 2 y + \ln (y)$ .

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [- 2 y + \ln (y)]) + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Passaggio 12.3.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 2 y + \ln (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [\ln (y)]$ .

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (\frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [\ln (y)])) + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Passaggio 12.3.5

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 2 y$ rispetto a $y$ è $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [\ln (y)])) + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Passaggio 12.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [\ln (y)])) + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Passaggio 12.3.7

La derivata di $\ln (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{y}$ .

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 \cdot 1 + \frac{1}{y})) + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Passaggio 12.3.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 \cdot 1 + \frac{1}{y})) + e^{- 2 y + \ln (y)} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Passaggio 12.3.9

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 + \frac{1}{y})) + e^{- 2 y + \ln (y)} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Passaggio 12.3.10

Moltiplica $e^{- 2 y + \ln (y)}$ per $1$ .

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 + \frac{1}{y})) + e^{- 2 y + \ln (y)}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Passaggio 12.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (y)$ è $\frac{d g}{d y}$ .

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 + \frac{1}{y})) + e^{- 2 y + \ln (y)}) + \frac{d g}{d y} = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Passaggio 12.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 + \frac{1}{y}))) + x e^{- 2 y + \ln (y)} + \frac{d g}{d y} = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Passaggio 12.5.2

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d y} + e^{- 2 y + \ln (y)} x y (- 2 + \frac{1}{y}) + e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Passaggio 12.5.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d g}{d y} + e^{- 2 y + \ln (y)} x y \cdot - 2 + e^{- 2 y + \ln (y)} x y \frac{1}{y} + e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Passaggio 12.5.3.2

Sposta $- 2$ alla sinistra di $e^{- 2 y + \ln (y)} x y$ .

$\frac{d g}{d y} - 2 \cdot (e^{- 2 y + \ln (y)} x y) + e^{- 2 y + \ln (y)} x y \frac{1}{y} + e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Passaggio 12.5.3.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.3.3.1

Scomponi $y$ da $e^{- 2 y + \ln (y)} x y$ .

$\frac{d g}{d y} - 2 \cdot (e^{- 2 y + \ln (y)} x y) + y (e^{- 2 y + \ln (y)} x) \frac{1}{y} + e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Passaggio 12.5.3.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d g}{d y} - 2 \cdot (e^{- 2 y + \ln (y)} x y) + y (e^{- 2 y + \ln (y)} x) \frac{1}{y} + e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Passaggio 12.5.3.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d g}{d y} - 2 \cdot (e^{- 2 y + \ln (y)} x y) + e^{- 2 y + \ln (y)} x + e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Passaggio 12.5.3.4

Rimuovi le parentesi.

$\frac{d g}{d y} - 2 e^{- 2 y + \ln (y)} x y + e^{- 2 y + \ln (y)} x + e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Passaggio 12.5.4

Somma $e^{- 2 y + \ln (y)} x$ e $e^{- 2 y + \ln (y)} x$ .

$\frac{d g}{d y} - 2 e^{- 2 y + \ln (y)} x y + 2 e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Passaggio 12.5.5

Riordina i fattori in $\frac{d g}{d y} - 2 e^{- 2 y + \ln (y)} x y + 2 e^{- 2 y + \ln (y)} x$ .

$\frac{d g}{d y} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)} = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Passaggio 13

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

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Passaggio 13.1.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$- 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} + 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} - 2 x e^{- 2 y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

Passaggio 13.1.2

Combina i termini opposti in $- 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} + 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} - 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$ .

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Passaggio 13.1.2.1

Somma $- 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)}$ e $2 x y e^{- 2 y + \ln (y)}$ .

$2 x e^{- 2 y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} + 0 - 2 x e^{- 2 y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

Passaggio 13.1.2.2

Somma $2 x e^{- 2 y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)}$ e $0$ .

$2 x e^{- 2 y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - 2 x e^{- 2 y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

Passaggio 13.1.2.3

Sottrai $2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$ da $2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$ .

$0 + e^{- y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

Passaggio 13.1.2.4

Somma $0$ e $e^{- y + \ln (y)}$ .

$e^{- y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

Passaggio 13.1.3

Poiché $\frac{d g}{d y}$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$- \frac{d g}{d y} = e^{- y + \ln (y)}$

Passaggio 13.1.4

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \frac{d g}{d y} = e^{- y + \ln (y)}$ e semplifica.

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Passaggio 13.1.4.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \frac{d g}{d y} = e^{- y + \ln (y)}$ .

$\frac{- \frac{d g}{d y}}{- 1} = \frac{e^{- y + \ln (y)}}{- 1}$

Passaggio 13.1.4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 13.1.4.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\frac{d g}{d y}}{1} = \frac{e^{- y + \ln (y)}}{- 1}$

Passaggio 13.1.4.2.2

Dividi $\frac{d g}{d y}$ per $1$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{e^{- y + \ln (y)}}{- 1}$

Passaggio 13.1.4.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 13.1.4.3.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{e^{- y + \ln (y)}}{- 1}$ .

$\frac{d g}{d y} = - 1 \cdot e^{- y + \ln (y)}$

Passaggio 13.1.4.3.2

Riscrivi $- 1 \cdot e^{- y + \ln (y)}$ come $- e^{- y + \ln (y)}$ .

$\frac{d g}{d y} = - e^{- y + \ln (y)}$

Passaggio 14

Trova l'antiderivata di $- e^{- y + \ln (y)}$ per trovare $g (y)$ .

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Passaggio 14.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d y} = - e^{- y + \ln (y)}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - e^{- y + \ln (y)} d y$

Passaggio 14.2

Calcola $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - e^{- y + \ln (y)} d y$

Passaggio 14.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$g (y) = - \int e^{- y + \ln (y)} d y$

Passaggio 14.4

Riscrivi $\int e^{- y + \ln (y)} d y$ come $\int e^{- y} e^{\ln (y)} d y$ .

$g (y) = - \int e^{- y} e^{\ln (y)} d y$

Passaggio 14.5

Riscrivi $e^{\ln (y)}$ come $y$ .

$g (y) = - \int e^{- y} y d y$

Passaggio 14.6

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = y$ e $d v = e^{- y}$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y)$

Passaggio 14.7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y)$

Passaggio 14.8

Semplifica.

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Passaggio 14.8.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y)$

Passaggio 14.8.2

Moltiplica $\int e^{- y} d y$ per $1$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y)$

Passaggio 14.9

Sia $u = - y$ . Allora $d u = - d y$ , quindi $- d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 14.9.1

Sia $u = - y$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

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Passaggio 14.9.1.1

Differenzia $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Passaggio 14.9.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- y$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 14.9.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 14.9.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 14.9.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + \int - e^{u} d u)$

Passaggio 14.10

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - \int e^{u} d u)$

Passaggio 14.11

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - (e^{u} + C))$

Passaggio 14.12

Riscrivi $- (y (- e^{- y}) - (e^{u} + C))$ come $- (- y e^{- y} - e^{u}) + C$ .

$g (y) = - (- y e^{- y} - e^{u}) + C$

Passaggio 14.13

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- y$ .

$g (y) = - (- y e^{- y} - e^{- y}) + C$

Passaggio 14.14

Semplifica.

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Passaggio 14.14.1

Applica la proprietà distributiva.

$g (y) = - (- y e^{- y}) - - e^{- y} + C$

Passaggio 14.14.2

Moltiplica $- (- y e^{- y})$ .

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Passaggio 14.14.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$g (y) = 1 (y e^{- y}) - - e^{- y} + C$

Passaggio 14.14.2.2

Moltiplica $y$ per $1$ .

$g (y) = y e^{- y} - - e^{- y} + C$

Passaggio 14.14.3

Moltiplica $- - e^{- y}$ .

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Passaggio 14.14.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$g (y) = y e^{- y} + 1 e^{- y} + C$

Passaggio 14.14.3.2

Moltiplica $e^{- y}$ per $1$ .

$g (y) = y e^{- y} + e^{- y} + C$

Passaggio 15

Sostituisci a $g (y)$ in $f (x, y) = y e^{- 2 y + \ln (y)} x + g (y)$ .

$f (x, y) = y e^{- 2 y + \ln (y)} x + y e^{- y} + e^{- y} + C$

Passaggio 16

Riordina i fattori in $f (x, y) = y e^{- 2 y + \ln (y)} x + y e^{- y} + e^{- y} + C$ .

$f (x, y) = y x e^{- 2 y + \ln (y)} + y e^{- y} + e^{- y} + C$