Calcolo Esempi

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y = x^{2} - 1$

Passaggio 1

Verifica se il lato sinistro dell'equazione sia il risultato della derivata del termine $(x + 1) y$ .

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x + 1$ e $g (x) = y$ .

$(x + 1) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 1.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$(x + 1) y' + y \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 1.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(x + 1) y' + y (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(x + 1) y' + y (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 1.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(x + 1) y' + y (1 + 0)$

Passaggio 1.6

Somma $1$ e $0$ .

$(x + 1) y' + y \cdot 1$

Passaggio 1.7

Sostituisci $\frac{d y}{d x}$ a $y'$ .

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Passaggio 1.8

Riordina $y$ e $1$ .

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Passaggio 1.9

Moltiplica $y$ per $1$ .

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y$

Passaggio 2

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [(x + 1) y] = x^{2} - 1$

Passaggio 3

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [(x + 1) y] d x = \int x^{2} - 1 d x$

Passaggio 4

Integra il lato sinistro.

$(x + 1) y = \int x^{2} - 1 d x$

Passaggio 5

Integra il lato destro.

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Passaggio 5.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$(x + 1) y = \int x^{2} d x + \int - 1 d x$

Passaggio 5.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$(x + 1) y = \frac{1}{3} x^{3} + C + \int - 1 d x$

Passaggio 5.3

Applica la regola costante.

$(x + 1) y = \frac{1}{3} x^{3} + C - x + C$

Passaggio 5.4

Semplifica.

$(x + 1) y = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$

Passaggio 6

Dividi per $x + 1$ ciascun termine in $(x + 1) y = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$ e semplifica.

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Passaggio 6.1

Dividi per $x + 1$ ciascun termine in $(x + 1) y = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$ .

$\frac{(x + 1) y}{x + 1} = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Passaggio 6.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 6.2.1

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

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Passaggio 6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x + 1) y}{x + 1} = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Passaggio 6.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Passaggio 6.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 6.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.3.1.1

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$y = \frac{\frac{x^{3}}{3}}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Passaggio 6.3.1.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y = \frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Passaggio 6.3.1.3

Moltiplica $\frac{x^{3}}{3}$ per $\frac{1}{x + 1}$ .

$y = \frac{x^{3}}{3 (x + 1)} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Passaggio 6.3.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{x^{3}}{3 (x + 1)} - \frac{x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Passaggio 6.3.2

Per scrivere $- \frac{x}{x + 1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{3 (x + 1)} - \frac{x}{x + 1} \cdot \frac{3}{3} + \frac{C}{x + 1}$

Passaggio 6.3.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $3 (x + 1)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 6.3.3.1

Moltiplica $\frac{x}{x + 1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{3 (x + 1)} - \frac{x \cdot 3}{(x + 1) \cdot 3} + \frac{C}{x + 1}$

Passaggio 6.3.3.2

Riordina i fattori di $(x + 1) \cdot 3$ .

$y = \frac{x^{3}}{3 (x + 1)} - \frac{x \cdot 3}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x + 1}$

Passaggio 6.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{x^{3} - x \cdot 3}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x + 1}$

Passaggio 6.3.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.3.5.1

Scomponi $x$ da $x^{3} - x \cdot 3$ .

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Passaggio 6.3.5.1.1

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$y = \frac{x \cdot x^{2} - x \cdot 3}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x + 1}$

Passaggio 6.3.5.1.2

Scomponi $x$ da $- x \cdot 3$ .

$y = \frac{x \cdot x^{2} + x (- 1 \cdot 3)}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x + 1}$

Passaggio 6.3.5.1.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x^{2} + x (- 1 \cdot 3)$ .

$y = \frac{x (x^{2} - 1 \cdot 3)}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x + 1}$

Passaggio 6.3.5.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$y = \frac{x (x^{2} - 3)}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x + 1}$

Passaggio 6.3.6

Per scrivere $\frac{C}{x + 1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x (x^{2} - 3)}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x + 1} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 6.3.7

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $3 (x + 1)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 6.3.7.1

Moltiplica $\frac{C}{x + 1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x (x^{2} - 3)}{3 (x + 1)} + \frac{C \cdot 3}{(x + 1) \cdot 3}$

Passaggio 6.3.7.2

Riordina i fattori di $(x + 1) \cdot 3$ .

$y = \frac{x (x^{2} - 3)}{3 (x + 1)} + \frac{C \cdot 3}{3 (x + 1)}$

Passaggio 6.3.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{x (x^{2} - 3) + C \cdot 3}{3 (x + 1)}$

Passaggio 6.3.9

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.3.9.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{x \cdot x^{2} + x \cdot - 3 + C \cdot 3}{3 (x + 1)}$

Passaggio 6.3.9.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 6.3.9.2.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

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Passaggio 6.3.9.2.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$y = \frac{x^{1} x^{2} + x \cdot - 3 + C \cdot 3}{3 (x + 1)}$

Passaggio 6.3.9.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \frac{x^{1 + 2} + x \cdot - 3 + C \cdot 3}{3 (x + 1)}$

Passaggio 6.3.9.2.2

Somma $1$ e $2$ .

$y = \frac{x^{3} + x \cdot - 3 + C \cdot 3}{3 (x + 1)}$

Passaggio 6.3.9.3

Sposta $- 3$ alla sinistra di $x$ .

$y = \frac{x^{3} - 3 \cdot x + C \cdot 3}{3 (x + 1)}$

Passaggio 6.3.9.4

Sposta $3$ alla sinistra di $C$ .

$y = \frac{x^{3} - 3 x + 3 C}{3 (x + 1)}$