Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = e^{3 x}$ , $y (0) = 4$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = e^{3 x} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int e^{3 x} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int e^{3 x} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Sia $u = 3 x$ . Allora $d u = 3 d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Sia $u = 3 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.3.1.1.1

Differenzia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 2.3.1.1.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Passaggio 2.3.1.1.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3$

Passaggio 2.3.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Passaggio 2.3.2

$e^{u}$ e $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Passaggio 2.3.3

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int e^{u} d u$

Passaggio 2.3.4

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (e^{u} + C_{2})$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} e^{u} + C_{2}$

Passaggio 2.3.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} e^{3 x} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = \frac{1}{3} e^{3 x} + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $0$ e $y$ con $4$ in $y = \frac{1}{3} e^{3 x} + K$ .

$4 = \frac{1}{3} e^{3 \cdot 0} + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{1}{3} \cdot e^{3 \cdot 0} + K = 4$ .

$\frac{1}{3} \cdot e^{3 \cdot 0} + K = 4$

Passaggio 4.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot e^{0} + K = 4$

Passaggio 4.2.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + K = 4$

Passaggio 4.2.3

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $1$ .

$\frac{1}{3} + K = 4$

Passaggio 4.3

Sposta tutti i termini non contenenti $K$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.3.1

Sottrai $\frac{1}{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$K = 4 - \frac{1}{3}$

Passaggio 4.3.2

Per scrivere $4$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$K = 4 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

Passaggio 4.3.3

$4$ e $\frac{3}{3}$ .

$K = \frac{4 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}$

Passaggio 4.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$K = \frac{4 \cdot 3 - 1}{3}$

Passaggio 4.3.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.3.5.1

Moltiplica $4$ per $3$ .

$K = \frac{12 - 1}{3}$

Passaggio 4.3.5.2

Sottrai $1$ da $12$ .

$K = \frac{11}{3}$

Passaggio 5

Sostituisci $\frac{11}{3}$ a $K$ in $y = \frac{1}{3} e^{3 x} + K$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $\frac{11}{3}$ a $K$ .

$y = \frac{1}{3} e^{3 x} + \frac{11}{3}$

Passaggio 5.2

$\frac{1}{3}$ e $e^{3 x}$ .

$y = \frac{e^{3 x}}{3} + \frac{11}{3}$