Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cos (x)}{1 - 2 y}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 - 2 y} \cos (x)$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1 - 2 y}{y}$ .

$\frac{1 - 2 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 - 2 y}{y} (\frac{y}{1 - 2 y} \cos (x))$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

$\frac{y}{1 - 2 y}$ e $\cos (x)$ .

$\frac{1 - 2 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 - 2 y}{y} \cdot \frac{y \cos (x)}{1 - 2 y}$

Passaggio 1.3.2

Elimina il fattore comune di $1 - 2 y$ .

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Passaggio 1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 - 2 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 - 2 y}{y} \cdot \frac{y \cos (x)}{1 - 2 y}$

Passaggio 1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 - 2 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \cos (x))$

Passaggio 1.3.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

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Passaggio 1.3.3.1

Scomponi $y$ da $y \cos (x)$ .

$\frac{1 - 2 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (\cos (x)))$

Passaggio 1.3.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 - 2 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \cos (x))$

Passaggio 1.3.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 - 2 y}{y} \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1 - 2 y}{y} d y = \cos (x) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1 - 2 y}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$\int \frac{1}{y} + \frac{- 2 y}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.2.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- 2 y}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.2.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

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Passaggio 2.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- 2 y}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.2.3.2

Dividi $- 2$ per $1$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int - 2 d y = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.2.4

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \int - 2 d y = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.2.5

Applica la regola costante.

$\ln (| y |) + C_{1} - 2 y + C_{2} = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.2.6

Semplifica.

$\ln (| y |) - 2 y + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.2.7

Riordina i termini.

$- 2 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.3

L'integrale di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $\sin (x)$ .

$- 2 y + \ln (| y |) + C_{3} = \sin (x) + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$- 2 y + \ln (| y |) = \sin (x) + C$