Calcolo Esempi

$(x + 4 y^{2}) d y + 2 (y d) x = 0$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale per adattarla alla tecnica di equazione differenziale esatta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi.

$2 y d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = 2 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 y]$

Passaggio 2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 y$ rispetto a $y$ è $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \cdot 1$

Passaggio 2.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2$

Passaggio 3

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = x + 4 y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 4 y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Passaggio 3.4

Poiché $4 y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 y^{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

Passaggio 3.5

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Passaggio 4

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $2$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $1$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$2 = 1$

Passaggio 4.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$2 = 1$ non è un'identità.

Passaggio 5

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci $1$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Passaggio 5.2

Sostituisci $2$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{1 - 2}{M}$

Passaggio 5.3

Sostituisci $2 y$ a $M$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sostituisci $2 y$ a $M$ .

$\frac{1 - 2}{2 y}$

Passaggio 5.3.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{- 1}{2 y}$

Passaggio 5.3.3

Sostituisci $2 y$ a $M$ .

$- \frac{1}{2 y}$

Passaggio 5.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{2 y} d y}$

Passaggio 6

Valuta l'integrale $e^{\int - \frac{1}{2 y} d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{2 y} d y}$

Passaggio 6.2

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $y$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{y} d y)}$

Passaggio 6.3

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- \frac{1}{2} (\ln (| y |) + C)}$

Passaggio 6.4

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{- \frac{1}{2} \ln (| y |)} + C$

Passaggio 6.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Moltiplica $- \frac{1}{2} \ln (| y |)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1.1

Riordina $\ln (| y |)$ e $\frac{1}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{- (\frac{1}{2} \ln (| y |))} + C$

Passaggio 6.5.1.2

Semplifica $\frac{1}{2} \ln (| y |)$ spostando $\frac{1}{2}$ all'interno del logaritmo.

$μ (x, y) = e^{- \ln ({| y |}^{\frac{1}{2}})} + C$

Passaggio 6.5.2

Semplifica $- \ln ({| y |}^{\frac{1}{2}})$ spostando $- 1$ all'interno del logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({({| y |}^{\frac{1}{2}})}^{- 1})} + C$

Passaggio 6.5.3

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$μ (x, y) = {({| y |}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} + C$

Passaggio 6.5.4

Moltiplica gli esponenti in ${({| y |}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.4.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$μ (x, y) = {| y |}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} + C$

Passaggio 6.5.4.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$μ (x, y) = {| y |}^{\frac{- 1}{2}} + C$

Passaggio 6.5.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$μ (x, y) = {| y |}^{- \frac{1}{2}} + C$

Passaggio 6.5.5

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{\frac{1}{2}}} + C$

Passaggio 7

Moltiplica entrambi i lati di $2 y d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$ per il fattore di integrazione $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica $2 y$ per $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 y \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

Passaggio 7.2

Moltiplica $2 y \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

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Passaggio 7.2.1

$2$ e $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$y \frac{2}{y^{\frac{1}{2}}} d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

Passaggio 7.2.2

$y$ e $\frac{2}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{y \cdot 2}{y^{\frac{1}{2}}} d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

Passaggio 7.3

Sposta $y^{\frac{1}{2}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$y \cdot 2 y^{- \frac{1}{2}} d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

Passaggio 7.4

Moltiplica $y$ per $y^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Sposta $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$y^{- \frac{1}{2}} y \cdot 2 d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

Passaggio 7.4.2

Moltiplica $y^{- \frac{1}{2}}$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$y^{- \frac{1}{2}} y^{1} \cdot 2 d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

Passaggio 7.4.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y^{- \frac{1}{2} + 1} \cdot 2 d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

Passaggio 7.4.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$y^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \cdot 2 d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

Passaggio 7.4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y^{\frac{- 1 + 2}{2}} \cdot 2 d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

Passaggio 7.4.5

Somma $- 1$ e $2$ .

$y^{\frac{1}{2}} \cdot 2 d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

Passaggio 7.5

Sposta $2$ alla sinistra di $y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

Passaggio 7.6

Moltiplica $x + 4 y^{2}$ per $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} d x + (x + 4 y^{2}) \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = 0$

Passaggio 7.7

Moltiplica $x + 4 y^{2}$ per $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} d x + \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}} d y = 0$

Passaggio 8

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 y^{\frac{1}{2}} d x$

Passaggio 9

Integra $M (x, y) = 2 y^{\frac{1}{2}}$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Applica la regola costante.

$f (x, y) = 2 y^{\frac{1}{2}} x + C$

Passaggio 10

Poiché l'integrale di $g (y)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = 2 y^{\frac{1}{2}} x + g (y)$

Passaggio 11

Imposta $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 12

Trova $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Differenzia $f$ rispetto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y^{\frac{1}{2}} x + g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 12.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 y^{\frac{1}{2}} x + g (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [2 y^{\frac{1}{2}} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y^{\frac{1}{2}} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 12.3

Calcola $\frac{d}{d y} [2 y^{\frac{1}{2}} x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1

Poiché $2 x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 y^{\frac{1}{2}} x$ rispetto a $y$ è $2 x \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 x \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 12.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$2 x (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 12.3.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2 x (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 12.3.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 x (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 12.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 x (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 12.3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$2 x (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 12.3.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$2 x (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 12.3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 x (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 12.3.8

$\frac{1}{2}$ e $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 x \frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 12.3.9

$2$ e $\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$x \frac{2 y^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 12.3.10

$x$ e $\frac{2 y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{x (2 y^{- \frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 12.3.11

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{2 \cdot x y^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 12.3.12

Sposta $y^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 x}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 12.3.13

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 12.3.14

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x}{y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 12.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (y)$ è $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{x}{y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 12.5

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}} = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 13

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Semplifica $\frac{d g}{d y} + \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}} - \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x - (x + 4 y^{2})}{y^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 13.1.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x - x - (4 y^{2})}{y^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 13.1.1.2.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x - x - 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 13.1.1.3

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.3.1

Sottrai $x$ da $x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 - 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 13.1.1.3.2

Sottrai $4 y^{2}$ da $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 13.1.1.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.4.1

Sposta $y^{\frac{1}{2}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{d g}{d y} - 4 y^{2} y^{- \frac{1}{2}} = 0$

Passaggio 13.1.1.4.2

Moltiplica $y^{2}$ per $y^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.4.2.1

Sposta $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{d g}{d y} - 4 (y^{- \frac{1}{2}} y^{2}) = 0$

Passaggio 13.1.1.4.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d g}{d y} - 4 y^{- \frac{1}{2} + 2} = 0$

Passaggio 13.1.1.4.2.3

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d g}{d y} - 4 y^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} = 0$

Passaggio 13.1.1.4.2.4

$2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d g}{d y} - 4 y^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} = 0$

Passaggio 13.1.1.4.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d g}{d y} - 4 y^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} = 0$

Passaggio 13.1.1.4.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.4.2.6.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{d g}{d y} - 4 y^{\frac{- 1 + 4}{2}} = 0$

Passaggio 13.1.1.4.2.6.2

Somma $- 1$ e $4$ .

$\frac{d g}{d y} - 4 y^{\frac{3}{2}} = 0$

Passaggio 13.1.2

Somma $4 y^{\frac{3}{2}}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} = 4 y^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 14

Trova l'antiderivata di $4 y^{\frac{3}{2}}$ per trovare $g (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d y} = 4 y^{\frac{3}{2}}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 4 y^{\frac{3}{2}} d y$

Passaggio 14.2

Calcola $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 4 y^{\frac{3}{2}} d y$

Passaggio 14.3

Poiché $4$ è costante rispetto a $y$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$g (y) = 4 \int y^{\frac{3}{2}} d y$

Passaggio 14.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $y$ è $\frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}}$ .

$g (y) = 4 (\frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}} + C)$

Passaggio 14.5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.5.1

Riscrivi $4 (\frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}} + C)$ come $4 (\frac{2}{5}) y^{\frac{5}{2}} + C$ .

$g (y) = 4 (\frac{2}{5}) y^{\frac{5}{2}} + C$

Passaggio 14.5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.5.2.1

$4$ e $\frac{2}{5}$ .

$g (y) = \frac{4 \cdot 2}{5} y^{\frac{5}{2}} + C$

Passaggio 14.5.2.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$g (y) = \frac{8}{5} y^{\frac{5}{2}} + C$

Passaggio 15

Sostituisci a $g (y)$ in $f (x, y) = 2 y^{\frac{1}{2}} x + g (y)$ .

$f (x, y) = 2 y^{\frac{1}{2}} x + \frac{8}{5} y^{\frac{5}{2}} + C$

Passaggio 16

Semplifica $f (x, y) = 2 y^{\frac{1}{2}} x + \frac{8}{5} y^{\frac{5}{2}} + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

$\frac{8}{5}$ e $y^{\frac{5}{2}}$ .

$f (x, y) = 2 y^{\frac{1}{2}} x + \frac{8 y^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Passaggio 16.2

Riordina i fattori in $f (x, y) = 2 y^{\frac{1}{2}} x + \frac{8 y^{\frac{5}{2}}}{5} + C$ .

$f (x, y) = 2 x y^{\frac{1}{2}} + \frac{8 y^{\frac{5}{2}}}{5} + C$