Calcolo Esempi

$(\cos (x) \sin (x) - x y^{2}) d x + y (1 - x^{2}) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\cos (x) \sin (x) - x y^{2}]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\cos (x) \sin (x) - x y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [\cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d y} [- x y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d y} [- x y^{2}]$

Passaggio 1.2.2

Poiché $\cos (x) \sin (x)$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $\cos (x) \sin (x)$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- x y^{2}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [- x y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- x y^{2}$ rispetto a $y$ è $- x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - x \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - x (2 y)$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x y$

Passaggio 1.4

Sottrai $2 x y$ da $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x y$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = y (1 - x^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y (1 - x^{2})]$

Passaggio 2.2

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $y (1 - x^{2})$ rispetto a $x$ è $y \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Passaggio 2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Passaggio 2.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Passaggio 2.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 2.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (- (2 x))$

Passaggio 2.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (- 2 x)$

Passaggio 2.8.2

Riordina i fattori di $y (- 2 x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x y$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $- 2 x y$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- 2 x y$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$- 2 x y = - 2 x y$

Passaggio 3.2

Dato che è stato dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$- 2 x y = - 2 x y$ è un'identità.

Passaggio 4

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y (1 - x^{2}) d y$

Passaggio 5

Integra $N (x, y) = y (1 - x^{2})$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poiché $1 - x^{2}$ è costante rispetto a $y$ , sposta $1 - x^{2}$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = (1 - x^{2}) \int y d y$

Passaggio 5.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = (1 - x^{2}) (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Passaggio 5.3

Riscrivi $(1 - x^{2}) (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ come $(1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = (1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2} + C$

Passaggio 6

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = (1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$

Passaggio 7

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Passaggio 8

Trova $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [(1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Passaggio 8.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $(1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [(1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [(1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Passaggio 8.3

Calcola $\frac{d}{d x} [(1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

$y^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [(1 - x^{2}) \frac{y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Passaggio 8.3.2

Poiché $\frac{y^{2}}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $(1 - x^{2}) \frac{y^{2}}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Passaggio 8.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{y^{2}}{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Passaggio 8.3.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{y^{2}}{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Passaggio 8.3.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{y^{2}}{2} (0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Passaggio 8.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{y^{2}}{2} (0 - (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Passaggio 8.3.7

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (0 - 2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Passaggio 8.3.8

Sottrai $2 x$ da $0$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- 2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Passaggio 8.3.9

$- 2$ e $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{- 2 y^{2}}{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Passaggio 8.3.10

$\frac{- 2 y^{2}}{2}$ e $x$ .

$\frac{- 2 y^{2} x}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Passaggio 8.3.11

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.11.1

Scomponi $2$ da $- 2 y^{2} x$ .

$\frac{2 (- y^{2} x)}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Passaggio 8.3.11.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.11.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (- y^{2} x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Passaggio 8.3.11.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- y^{2} x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Passaggio 8.3.11.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- y^{2} x}{1} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Passaggio 8.3.11.2.4

Dividi $- y^{2} x$ per $1$ .

$- y^{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Passaggio 8.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (x)$ è $\frac{d g}{d x}$ .

$- y^{2} x + \frac{d g}{d x} = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Passaggio 8.5

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d x} - y^{2} x = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Passaggio 9

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Somma $y^{2} x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} = \cos (x) \sin (x) - x y^{2} + y^{2} x$

Passaggio 9.1.2

Combina i termini opposti in $\cos (x) \sin (x) - x y^{2} + y^{2} x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.1

Riordina i fattori nei termini di $- x y^{2}$ e $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = \cos (x) \sin (x) - y^{2} x + y^{2} x$

Passaggio 9.1.2.2

Somma $- y^{2} x$ e $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = \cos (x) \sin (x) + 0$

Passaggio 9.1.2.3

Somma $\cos (x) \sin (x)$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = \cos (x) \sin (x)$

Passaggio 10

Trova l'antiderivata di $\cos (x) \sin (x)$ per trovare $g (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d x} = \cos (x) \sin (x)$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \cos (x) \sin (x) d x$

Passaggio 10.2

Calcola $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \cos (x) \sin (x) d x$

Passaggio 10.3

Sia $u = \cos (x)$ . Allora $d u = - \sin (x) d x$ , quindi $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Sia $u = \cos (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1.1

Differenzia $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 10.3.1.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Passaggio 10.3.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$g (x) = \int - u d u$

Passaggio 10.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$g (x) = - \int u d u$

Passaggio 10.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$g (x) = - (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Passaggio 10.6

Riscrivi $- (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ come $- \frac{1}{2} u^{2} + C$ .

$g (x) = - \frac{1}{2} u^{2} + C$

Passaggio 10.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cos (x)$ .

$g (x) = - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

Passaggio 11

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = (1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = (1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

Passaggio 12

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (x, y) = (1 (\frac{1}{2}) - x^{2} \frac{1}{2}) y^{2} - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

Passaggio 12.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$f (x, y) = (\frac{1}{2} - x^{2} \frac{1}{2}) y^{2} - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

Passaggio 12.3

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = (\frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2}) y^{2} - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

Passaggio 12.4

Applica la proprietà distributiva.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - \frac{x^{2}}{2} y^{2} - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

Passaggio 12.5

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{2} y^{2} - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

Passaggio 12.6

$y^{2}$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} - \frac{y^{2} x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

Passaggio 12.7

$\cos^{2} (x)$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} - \frac{y^{2} x^{2}}{2} - \frac{\cos^{2} (x)}{2} + C$