Calcolo Esempi

$x^{2} \frac{d y}{d x} = 3 y$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Dividi per $x^{2}$ ciascun termine in $x^{2} \frac{d y}{d x} = 3 y$ e semplifica.

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Passaggio 1.1.1

Dividi per $x^{2}$ ciascun termine in $x^{2} \frac{d y}{d x} = 3 y$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{3 y}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.1.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

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Passaggio 1.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{3 y}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y}{x^{2}}$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{3 y}{x^{2}}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Combina.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 (3 y)}{y x^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

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Passaggio 1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 (3 y)}{y x^{2}}$

Passaggio 1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot (3)}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{x^{2}}$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y} d y = \frac{3}{x^{2}} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.3.2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 2.3.2.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 2.3.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.3.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 2.3.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int x^{- 2} d x$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 (- x^{- 1} + C_{2})$

Passaggio 2.3.4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 2.3.4.1

Riscrivi $3 (- x^{- 1} + C_{2})$ come $3 (- \frac{1}{x}) + C_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 (- \frac{1}{x}) + C_{2}$

Passaggio 2.3.4.2

Semplifica.

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Passaggio 2.3.4.2.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 3 \frac{1}{x} + C_{2}$

Passaggio 2.3.4.2.2

$- 3$ e $\frac{1}{x}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 3}{x} + C_{2}$

Passaggio 2.3.4.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{3}{x} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{3}{x} + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \frac{3}{x} + C}$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\ln (| y |) = - \frac{3}{x} + C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{3}{x} + C} = | y |$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $| y | = e^{- \frac{3}{x} + C}$ .

$| y | = e^{- \frac{3}{x} + C}$

Passaggio 3.3.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- \frac{3}{x} + C}$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

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Passaggio 4.1

Riscrivi $e^{- \frac{3}{x} + C}$ come $e^{- \frac{3}{x}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- \frac{3}{x}} e^{C}$

Passaggio 4.2

Riordina $e^{- \frac{3}{x}}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{3}{x}}$

Passaggio 4.3

Combina costanti con il più o il meno.

$y = C e^{- \frac{3}{x}}$