Calcolo Esempi

$7 y \frac{d y}{d x} = 6 x^{2}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$7 y d y = 6 x^{2} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int 7 y d y = \int 6 x^{2} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $7$ è costante rispetto a $y$ , sposta $7$ fuori dall'integrale.

$7 \int y d y = \int 6 x^{2} d x$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$7 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int 6 x^{2} d x$

Passaggio 2.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Riscrivi $7 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ come $7 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$7 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int 6 x^{2} d x$

Passaggio 2.2.3.2

$7$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{7}{2} y^{2} + C_{1} = \int 6 x^{2} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , sposta $6$ fuori dall'integrale.

$\frac{7}{2} y^{2} + C_{1} = 6 \int x^{2} d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{7}{2} y^{2} + C_{1} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Passaggio 2.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Riscrivi $6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ come $6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ .

$\frac{7}{2} y^{2} + C_{1} = 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1

$6$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{7}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{6}{3} x^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.2

Elimina il fattore comune di $6$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.2.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$\frac{7}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.2.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{7}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{7}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{7}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{1} x^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.2.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$\frac{7}{2} y^{2} + C_{1} = 2 x^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{7}{2} y^{2} = 2 x^{3} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $\frac{2}{7}$ .

$\frac{2}{7} (\frac{7}{2} y^{2}) = \frac{2}{7} (2 x^{3} + K)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $\frac{2}{7} (\frac{7}{2} y^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{7}{2}$ e $y^{2}$ .

$\frac{2}{7} \cdot \frac{7 y^{2}}{2} = \frac{2}{7} (2 x^{3} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Combina.

$\frac{2 (7 y^{2})}{7 \cdot 2} = \frac{2}{7} (2 x^{3} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (7 y^{2})}{7 \cdot 2} = \frac{2}{7} (2 x^{3} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{7 y^{2}}{7} = \frac{2}{7} (2 x^{3} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.4

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{7 y^{2}}{7} = \frac{2}{7} (2 x^{3} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.4.2

Dividi $y^{2}$ per $1$ .

$y^{2} = \frac{2}{7} (2 x^{3} + K)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $\frac{2}{7} (2 x^{3} + K)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} = \frac{2}{7} (2 x^{3}) + \frac{2}{7} K$

Passaggio 3.2.2.1.2

Moltiplica $\frac{2}{7} (2 x^{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.2.1

$2$ e $\frac{2}{7}$ .

$y^{2} = \frac{2 \cdot 2}{7} x^{3} + \frac{2}{7} K$

Passaggio 3.2.2.1.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y^{2} = \frac{4}{7} x^{3} + \frac{2}{7} K$

Passaggio 3.2.2.1.2.3

$\frac{4}{7}$ e $x^{3}$ .

$y^{2} = \frac{4 x^{3}}{7} + \frac{2}{7} K$

Passaggio 3.2.2.1.3

$\frac{2}{7}$ e $K$ .

$y^{2} = \frac{4 x^{3}}{7} + \frac{2 K}{7}$

Passaggio 3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 x^{3}}{7} + \frac{2 K}{7}}$

Passaggio 3.4

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{4 x^{3}}{7} + \frac{2 K}{7}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 x^{3} + 2 K}{7}}$

Passaggio 3.4.2

Scomponi $2$ da $4 x^{3} + 2 K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Scomponi $2$ da $4 x^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (2 x^{3}) + 2 K}{7}}$

Passaggio 3.4.2.2

Scomponi $2$ da $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (2 x^{3}) + 2 K}{7}}$

Passaggio 3.4.2.3

Scomponi $2$ da $2 (2 x^{3}) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (2 x^{3} + K)}{7}}$

Passaggio 3.4.3

Riscrivi $\sqrt{\frac{2 (2 x^{3} + K)}{7}}$ come $\frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + K)}}{\sqrt{7}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + K)}}{\sqrt{7}}$

Passaggio 3.4.4

Moltiplica $\frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + K)}}{\sqrt{7}}$ per $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + K)}}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$

Passaggio 3.4.5

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + K)}}{\sqrt{7}}$ per $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + K)} \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Passaggio 3.4.5.2

Eleva $\sqrt{7}$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + K)} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}$

Passaggio 3.4.5.3

Eleva $\sqrt{7}$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + K)} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}$

Passaggio 3.4.5.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + K)} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

Passaggio 3.4.5.5

Somma $1$ e $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + K)} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

Passaggio 3.4.5.6

Riscrivi ${\sqrt{7}}^{2}$ come $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{7}$ come $7^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + K)} \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3.4.5.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + K)} \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.4.5.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + K)} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.4.5.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + K)} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.4.5.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + K)} \sqrt{7}}{7^{1}}$

Passaggio 3.4.5.6.5

Calcola l'esponente.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + K)} \sqrt{7}}{7}$

Passaggio 3.4.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.6.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + K) \cdot 7}}{7}$

Passaggio 3.4.6.2

Moltiplica $7$ per $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{14 (2 x^{3} + K)}}{7}$

Passaggio 3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \frac{\sqrt{14 (2 x^{3} + K)}}{7}$

Passaggio 3.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \frac{\sqrt{14 (2 x^{3} + K)}}{7}$

Passaggio 3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \frac{\sqrt{14 (2 x^{3} + K)}}{7}$

$y = - \frac{\sqrt{14 (2 x^{3} + K)}}{7}$

$y = \frac{\sqrt{14 (2 x^{3} + K)}}{7}$

$y = - \frac{\sqrt{14 (2 x^{3} + K)}}{7}$

$y = \frac{\sqrt{14 (2 x^{3} + K)}}{7}$

$y = - \frac{\sqrt{14 (2 x^{3} + K)}}{7}$