Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d θ} = \frac{e^{y} \sin^{2} (θ)}{y \sec (θ)}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d θ} = \frac{e^{y}}{y} \cdot \frac{\sin^{2} (θ)}{\sec (θ)}$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{y}{e^{y}}$ .

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = \frac{y}{e^{y}} (\frac{e^{y}}{y} \cdot \frac{\sin^{2} (θ)}{\sec (θ)})$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Combina.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = \frac{y}{e^{y}} \cdot \frac{e^{y} \sin^{2} (θ)}{y \sec (θ)}$

Passaggio 1.3.2

Combina.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = \frac{y (e^{y} \sin^{2} (θ))}{e^{y} (y \sec (θ))}$

Passaggio 1.3.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = \frac{y (e^{y} \sin^{2} (θ))}{e^{y} (y \sec (θ))}$

Passaggio 1.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = \frac{e^{y} \sin^{2} (θ)}{e^{y} (\sec (θ))}$

Passaggio 1.3.4

Elimina il fattore comune di $e^{y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = \frac{e^{y} \sin^{2} (θ)}{e^{y} \sec (θ)}$

Passaggio 1.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = \frac{\sin^{2} (θ)}{\sec (θ)}$

Passaggio 1.3.5

Scomponi $\sin (θ)$ da $\sin^{2} (θ)$ .

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = \frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\sec (θ)}$

Passaggio 1.3.6

Frazioni separate.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = \frac{\sin (θ)}{1} \cdot \frac{\sin (θ)}{\sec (θ)}$

Passaggio 1.3.7

Riscrivi $\sec (θ)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = \frac{\sin (θ)}{1} \cdot \frac{\sin (θ)}{\frac{1}{\cos (θ)}}$

Passaggio 1.3.8

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{\cos (θ)}$ .

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = \frac{\sin (θ)}{1} (\sin (θ) \cos (θ))$

Passaggio 1.3.9

Dividi $\sin (θ)$ per $1$ .

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = \sin (θ) (\sin (θ) \cos (θ))$

Passaggio 1.3.10

Moltiplica $\sin (θ) (\sin (θ) \cos (θ))$ .

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Passaggio 1.3.10.1

Eleva $\sin (θ)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = \sin^{1} (θ) \sin (θ) \cos (θ)$

Passaggio 1.3.10.2

Eleva $\sin (θ)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = \sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ) \cos (θ)$

Passaggio 1.3.10.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = {\sin (θ)}^{1 + 1} \cos (θ)$

Passaggio 1.3.10.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = \sin^{2} (θ) \cos (θ)$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{y}{e^{y}} d y = \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{y}{e^{y}} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.2.1.1

Nega l'esponente di $e^{y}$ e rimuovilo dal denominatore.

$\int y {(e^{y})}^{- 1} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{y})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.2.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y e^{y \cdot - 1} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Passaggio 2.2.1.2.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $y$ .

$\int y e^{- 1 \cdot y} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Passaggio 2.2.1.2.3

Riscrivi $- 1 y$ come $- y$ .

$\int y e^{- y} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Passaggio 2.2.2

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = y$ e $d v = e^{- y}$ .

$y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Passaggio 2.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Passaggio 2.2.4

Semplifica.

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Passaggio 2.2.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Passaggio 2.2.4.2

Moltiplica $\int e^{- y} d y$ per $1$ .

$y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Passaggio 2.2.5

Sia $u_{1} = - y$ . Allora $d u_{1} = - d y$ , quindi $- d u_{1} = d y$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Passaggio 2.2.5.1

Sia $u_{1} = - y$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Passaggio 2.2.5.1.1

Differenzia $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Passaggio 2.2.5.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- y$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.2.5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 2.2.5.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 2.2.5.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$y (- e^{- y}) + \int - e^{u_{1}} d u_{1} = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Passaggio 2.2.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y (- e^{- y}) - \int e^{u_{1}} d u_{1} = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Passaggio 2.2.7

L'integrale di $e^{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $e^{u_{1}}$ .

$y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C_{1}) = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Passaggio 2.2.8

Riscrivi $y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C_{1})$ come $- y e^{- y} - e^{u_{1}} + C_{1}$ .

$- y e^{- y} - e^{u_{1}} + C_{1} = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Passaggio 2.2.9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $- y$ .

$- y e^{- y} - e^{- y} + C_{1} = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Passaggio 2.2.10

Riordina i termini.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Sia $u_{2} = \sin (θ)$ . Allora $d u_{2} = \cos (θ) d θ$ , quindi $\frac{1}{\cos (θ)} d u_{2} = d θ$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Sia $u_{2} = \sin (θ)$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d θ}$ .

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Passaggio 2.3.1.1.1

Differenzia $\sin (θ)$ .

$\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Passaggio 2.3.1.1.2

La derivata di $\sin (θ)$ rispetto a $θ$ è $\cos (θ)$ .

$\cos (θ)$

Passaggio 2.3.1.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di ${u_{2}}^{2}$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\sin (θ)$ .

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \frac{1}{3} \sin^{3} (θ) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$- e^{- y} y - e^{- y} = \frac{1}{3} \sin^{3} (θ) + K$