Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} - y = - y^{2}$

Passaggio 1

Per risolvere l'equazione differenziale, sia $v = y^{1 - n}$ , dove $n$ è l'esponente di $y^{2}$ .

$v = y^{- 1}$

Passaggio 2

Risolvi l'equazione per $y$ .

$y = v^{- 1}$

Passaggio 3

Trova la derivata di $y$ rispetto a $x$ .

$y' = v^{- 1}$

Passaggio 4

Trova la derivata di $v^{- 1}$ rispetto a $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata di $v^{- 1}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

Passaggio 4.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 1$ e $g (x) = v$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Passaggio 4.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Passaggio 4.4.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Passaggio 4.4.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.3.1

Moltiplica $v$ per $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Passaggio 4.4.3.2

Sottrai $\frac{d}{d x} [v]$ da $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Passaggio 4.4.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Passaggio 4.5

Riscrivi $\frac{d}{d x} [v]$ come $v'$ .

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

Passaggio 5

Sostituisci $- \frac{v'}{v^{2}}$ a $\frac{d y}{d x}$ e $v^{- 1}$ a $y$ nell'equazione originale $\frac{d y}{d x} - y = - y^{2}$ .

$- \frac{v'}{v^{2}} - v^{- 1} = - {(v^{- 1})}^{2}$

Passaggio 6

Risolvi l'equazione differenziale sostituita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Risolvi per $\frac{d v}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - \frac{1}{v} = - {(v^{- 1})}^{2}$

Passaggio 6.1.1.2

Semplifica $- {(v^{- 1})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(v^{- 1})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - \frac{1}{v} = - v^{- 1 \cdot 2}$

Passaggio 6.1.1.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - \frac{1}{v} = - v^{- 2}$

Passaggio 6.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - \frac{1}{v} = - \frac{1}{v^{2}}$

Passaggio 6.1.1.3

Somma $\frac{1}{v}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - \frac{1}{v^{2}} + \frac{1}{v}$

Passaggio 6.1.1.4

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - \frac{1}{v^{2}} + \frac{1}{v}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.4.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - \frac{1}{v^{2}} + \frac{1}{v}$ .

$\frac{- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}}{- 1} = \frac{- \frac{1}{v^{2}}}{- 1} + \frac{\frac{1}{v}}{- 1}$

Passaggio 6.1.1.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.4.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}}{1} = \frac{- \frac{1}{v^{2}}}{- 1} + \frac{\frac{1}{v}}{- 1}$

Passaggio 6.1.1.4.2.2

Dividi $\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ per $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{- \frac{1}{v^{2}}}{- 1} + \frac{\frac{1}{v}}{- 1}$

Passaggio 6.1.1.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.4.3.1.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{\frac{1}{v^{2}}}{1} + \frac{\frac{1}{v}}{- 1}$

Passaggio 6.1.1.4.3.1.2

Dividi $\frac{1}{v^{2}}$ per $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{1}{v^{2}} + \frac{\frac{1}{v}}{- 1}$

Passaggio 6.1.1.4.3.1.3

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\frac{1}{v}}{- 1}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{1}{v^{2}} - 1 \cdot \frac{1}{v}$

Passaggio 6.1.1.4.3.1.4

Riscrivi $- 1 \cdot \frac{1}{v}$ come $- \frac{1}{v}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{1}{v^{2}} - \frac{1}{v}$

Passaggio 6.1.1.5

Moltiplica ogni lato per $v^{2}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} v^{2} = (\frac{1}{v^{2}} - \frac{1}{v}) v^{2}$

Passaggio 6.1.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.6.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.6.1.1

Elimina il fattore comune di $v^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.6.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} v^{2} = (\frac{1}{v^{2}} - \frac{1}{v}) v^{2}$

Passaggio 6.1.1.6.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d v}{d x} = (\frac{1}{v^{2}} - \frac{1}{v}) v^{2}$

Passaggio 6.1.1.6.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.6.2.1

Semplifica $(\frac{1}{v^{2}} - \frac{1}{v}) v^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.6.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d v}{d x} = \frac{1}{v^{2}} v^{2} - \frac{1}{v} v^{2}$

Passaggio 6.1.1.6.2.1.2

Elimina il fattore comune di $v^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.6.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d v}{d x} = \frac{1}{v^{2}} v^{2} - \frac{1}{v} v^{2}$

Passaggio 6.1.1.6.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d v}{d x} = 1 - \frac{1}{v} v^{2}$

Passaggio 6.1.1.6.2.1.3

Elimina il fattore comune di $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.6.2.1.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{v}$ nel numeratore.

$\frac{d v}{d x} = 1 + \frac{- 1}{v} v^{2}$

Passaggio 6.1.1.6.2.1.3.2

Scomponi $v$ da $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} = 1 + \frac{- 1}{v} (v \cdot v)$

Passaggio 6.1.1.6.2.1.3.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{d v}{d x} = 1 + \frac{- 1}{v} (v \cdot v)$

Passaggio 6.1.1.6.2.1.3.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d v}{d x} = 1 - 1 v$

Passaggio 6.1.1.6.2.1.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.6.2.1.4.1

Riscrivi $- 1 v$ come $- v$ .

$\frac{d v}{d x} = 1 - v$

Passaggio 6.1.1.6.2.1.4.2

Riordina $1$ e $- v$ .

$\frac{d v}{d x} = - v + 1$

Passaggio 6.1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{- v + 1}$ .

$\frac{1}{- v + 1} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{- v + 1} (- v + 1)$

Passaggio 6.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.1

Moltiplica $\frac{1}{- v + 1}$ per $- v + 1$ .

$\frac{1}{- v + 1} \frac{d v}{d x} = \frac{- v + 1}{- v + 1}$

Passaggio 6.1.3.2

Elimina il fattore comune di $- v + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{- v + 1} \frac{d v}{d x} = \frac{- v + 1}{- v + 1}$

Passaggio 6.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{- v + 1} \frac{d v}{d x} = 1$

Passaggio 6.1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{- v + 1} d v = 1 d x$

Passaggio 6.2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{- v + 1} d v = \int d x$

Passaggio 6.2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Sia $u = - v + 1$ . Allora $d u = - d v$ , quindi $- d u = d v$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Sia $u = - v + 1$ . Trova $\frac{d u}{d v}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1.1

Riscrivi.

$\frac{- 1}{1}$

Passaggio 6.2.2.1.1.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 6.2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int d x$

Passaggio 6.2.2.2

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int d x$

Passaggio 6.2.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

Passaggio 6.2.2.4

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d x$

Passaggio 6.2.2.5

Semplifica.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int d x$

Passaggio 6.2.2.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- v + 1$ .

$- \ln (| - v + 1 |) + C_{1} = \int d x$

Passaggio 6.2.3

Applica la regola costante.

$- \ln (| - v + 1 |) + C_{1} = x + C_{2}$

Passaggio 6.2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$- \ln (| - v + 1 |) = x + C$

Passaggio 6.3

Risolvi per $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \ln (| - v + 1 |) = x + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \ln (| - v + 1 |) = x + C$ .

$\frac{- \ln (| - v + 1 |)}{- 1} = \frac{x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 6.3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\ln (| - v + 1 |)}{1} = \frac{x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 6.3.1.2.2

Dividi $\ln (| - v + 1 |)$ per $1$ .

$\ln (| - v + 1 |) = \frac{x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 6.3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.3.1.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{x}{- 1}$ .

$\ln (| - v + 1 |) = - 1 \cdot x + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 6.3.1.3.1.2

Riscrivi $- 1 \cdot x$ come $- x$ .

$\ln (| - v + 1 |) = - x + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 6.3.1.3.1.3

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| - v + 1 |) = - x - 1 \cdot C$

Passaggio 6.3.1.3.1.4

Riscrivi $- 1 \cdot C$ come $- C$ .

$\ln (| - v + 1 |) = - x - C$

Passaggio 6.3.2

Per risolvere per $v$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| - v + 1 |)} = e^{- x - C}$

Passaggio 6.3.3

Riscrivi $\ln (| - v + 1 |) = - x - C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- x - C} = | - v + 1 |$

Passaggio 6.3.4

Risolvi per $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.4.1

Riscrivi l'equazione come $| - v + 1 | = e^{- x - C}$ .

$| - v + 1 | = e^{- x - C}$

Passaggio 6.3.4.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$- v + 1 = \pm e^{- x - C}$

Passaggio 6.3.4.3

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- v = \pm e^{- x - C} - 1$

Passaggio 6.3.4.4

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- v = \pm e^{- x - C} - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.4.4.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- v = \pm e^{- x - C} - 1$ .

$\frac{- v}{- 1} = \frac{\pm e^{- x - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 6.3.4.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.4.4.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{v}{1} = \frac{\pm e^{- x - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 6.3.4.4.2.2

Dividi $v$ per $1$ .

$v = \frac{\pm e^{- x - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 6.3.4.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.4.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.4.4.3.1.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\pm e^{- x - C}}{- 1}$ .

$v = - 1 \cdot (\pm e^{- x - C}) + \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 6.3.4.4.3.1.2

Riscrivi $- 1 \cdot (\pm e^{- x - C})$ come $- (\pm e^{- x - C})$ .

$v = - (\pm e^{- x - C}) + \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 6.3.4.4.3.1.3

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$v = - (\pm e^{- x - C}) + 1$

Passaggio 6.4

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Semplifica la costante dell'integrazione.

$v = - (\pm e^{- x + C}) + 1$

Passaggio 6.4.2

Riscrivi $e^{- x + C}$ come $e^{- x} e^{C}$ .

$v = - (\pm e^{- x} e^{C}) + 1$

Passaggio 6.4.3

Riordina $e^{- x}$ e $e^{C}$ .

$v = - (\pm e^{C} e^{- x}) + 1$

Passaggio 6.4.4

Combina costanti con il più o il meno.

$v = - (C e^{- x}) + 1$

Passaggio 7

Sostituisci $y^{- 1}$ a $v$ .

$y^{- 1} = - (C e^{- x}) + 1$