Calcolo Esempi

$x \frac{d y}{d x} + y = 4 x$ , $y (1) = 8$

Passaggio 1

Verifica se il lato sinistro dell'equazione sia il risultato della derivata del termine $x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci $\frac{d y}{d x}$ a $y'$ .

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Passaggio 1.5

Riordina $y$ e $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Passaggio 1.6

Moltiplica $y$ per $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y$

Passaggio 2

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [x y] = 4 x$

Passaggio 3

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int 4 x d x$

Passaggio 4

Integra il lato sinistro.

$x y = \int 4 x d x$

Passaggio 5

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$x y = 4 \int x d x$

Passaggio 5.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x y = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Passaggio 5.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Riscrivi $4 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ come $4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$x y = 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Passaggio 5.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

$4$ e $\frac{1}{2}$ .

$x y = \frac{4}{2} x^{2} + C$

Passaggio 5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$x y = \frac{2 \cdot 2}{2} x^{2} + C$

Passaggio 5.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$x y = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} x^{2} + C$

Passaggio 5.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$x y = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

Passaggio 5.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x y = \frac{2}{1} x^{2} + C$

Passaggio 5.3.2.2.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$x y = 2 x^{2} + C$

Passaggio 6

Dividi per $x$ ciascun termine in $x y = 2 x^{2} + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x y = 2 x^{2} + C$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y}{x} = \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 6.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 6.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1

Scomponi $x$ da $2 x^{2}$ .

$y = \frac{x (2 x)}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 6.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$y = \frac{x (2 x)}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

Passaggio 6.3.1.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$y = \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Passaggio 6.3.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Passaggio 6.3.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{2 x}{1} + \frac{C}{x}$

Passaggio 6.3.1.2.5

Dividi $2 x$ per $1$ .

$y = 2 x + \frac{C}{x}$

Passaggio 7

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $C$ sostituendo $x$ con $1$ e $y$ con $8$ in $y = 2 x + \frac{C}{x}$ .

$8 = 2 \cdot 1 + \frac{C}{1}$

Passaggio 8

Risolvi per $C$ .

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Passaggio 8.1

Riscrivi l'equazione come $2 \cdot 1 + \frac{C}{1} = 8$ .

$2 \cdot 1 + \frac{C}{1} = 8$

Passaggio 8.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \frac{C}{1} = 8$

Passaggio 8.2.2

Dividi $C$ per $1$ .

$2 + C = 8$

Passaggio 8.3

Sposta tutti i termini non contenenti $C$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$C = 8 - 2$

Passaggio 8.3.2

Sottrai $2$ da $8$ .

$C = 6$

Passaggio 9

Sostituisci $6$ a $C$ in $y = 2 x + \frac{C}{x}$ e semplifica.

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Passaggio 9.1

Sostituisci $6$ a $C$ .

$y = 2 x + \frac{6}{x}$