Calcolo Esempi

$\frac{d x}{d y} = x + y$

Passaggio 1

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d x}{d y} - x = y$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (y) d y}$ , dove $P (y) = - 1$ .

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Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int - 1 d y}$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$e^{- y + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{- y}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{- y}$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $e^{- y}$ .

$e^{- y} \frac{d x}{d y} + e^{- y} (- x) = e^{- y} y$

Passaggio 3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{- y} \frac{d x}{d y} - e^{- y} x = e^{- y} y$

Passaggio 3.3

Riordina i fattori in $e^{- y} \frac{d x}{d y} - e^{- y} x = e^{- y} y$ .

$e^{- y} \frac{d x}{d y} - x e^{- y} = y e^{- y}$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d y} [e^{- y} x] = y e^{- y}$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d y} [e^{- y} x] d y = \int y e^{- y} d y$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$e^{- y} x = \int y e^{- y} d y$

Passaggio 7

Integra il lato destro.

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Passaggio 7.1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = y$ e $d v = e^{- y}$ .

$e^{- y} x = y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y$

Passaggio 7.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- y} x = y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y$

Passaggio 7.3

Semplifica.

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Passaggio 7.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$e^{- y} x = y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y$

Passaggio 7.3.2

Moltiplica $\int e^{- y} d y$ per $1$ .

$e^{- y} x = y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y$

Passaggio 7.4

Sia $u = - y$ . Allora $d u = - d y$ , quindi $- d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 7.4.1

Sia $u = - y$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

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Passaggio 7.4.1.1

Differenzia $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Passaggio 7.4.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- y$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 7.4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 7.4.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 7.4.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{- y} x = y (- e^{- y}) + \int - e^{u} d u$

Passaggio 7.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- y} x = y (- e^{- y}) - \int e^{u} d u$

Passaggio 7.6

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$e^{- y} x = y (- e^{- y}) - (e^{u} + C)$

Passaggio 7.7

Riscrivi $y (- e^{- y}) - (e^{u} + C)$ come $- y e^{- y} - e^{u} + C$ .

$e^{- y} x = - y e^{- y} - e^{u} + C$

Passaggio 7.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- y$ .

$e^{- y} x = - y e^{- y} - e^{- y} + C$

Passaggio 8

Dividi per $e^{- y}$ ciascun termine in $e^{- y} x = - y e^{- y} - e^{- y} + C$ e semplifica.

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Passaggio 8.1

Dividi per $e^{- y}$ ciascun termine in $e^{- y} x = - y e^{- y} - e^{- y} + C$ .

$\frac{e^{- y} x}{e^{- y}} = \frac{- y e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{- e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{C}{e^{- y}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{- y}$ .

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Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{- y} x}{e^{- y}} = \frac{- y e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{- e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{C}{e^{- y}}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- y e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{- e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{C}{e^{- y}}$

Passaggio 8.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 8.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 8.3.1.1

Elimina il fattore comune di $e^{- y}$ .

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Passaggio 8.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{- y e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{- e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{C}{e^{- y}}$

Passaggio 8.3.1.1.2

Dividi $- y$ per $1$ .

$x = - y + \frac{- e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{C}{e^{- y}}$

Passaggio 8.3.1.2

Elimina il fattore comune di $e^{- y}$ .

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Passaggio 8.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x = - y + \frac{- e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{C}{e^{- y}}$

Passaggio 8.3.1.2.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$x = - y - 1 + \frac{C}{e^{- y}}$