Calcolo Esempi

$e^{- y} \sec (x) - \frac{d y}{d x} \cos (x) = 0$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Risolvi per $\frac{d y}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Semplifica il lato sinistro.

$e^{- y} \sec (x) - \frac{d y}{d x} \cos (x) = 0$

Passaggio 1.1.2

Sottrai $e^{- y} \sec (x)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \frac{d y}{d x} \cos (x) = - e^{- y} \sec (x)$

Passaggio 1.1.3

Dividi per $- \frac{d y}{d x} \cos (x)$ ciascun termine in $- \frac{d y}{d x} \cos (x) = - e^{- y} \sec (x)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Dividi per $- \frac{d y}{d x} \cos (x)$ ciascun termine in $- \frac{d y}{d x} \cos (x) = - e^{- y} \sec (x)$ .

$\frac{- \frac{d y}{d x} \cos (x)}{- \frac{d y}{d x} \cos (x)} = \frac{- e^{- y} \sec (x)}{- \frac{d y}{d x} \cos (x)}$

Passaggio 1.1.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\frac{d y}{d x} \cos (x)}{\frac{d y}{d x} \cos (x)} = \frac{- e^{- y} \sec (x)}{- \frac{d y}{d x} \cos (x)}$

Passaggio 1.1.3.2.2

Elimina il fattore comune di $\frac{d y}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d y}{d x} \cos (x)}{\frac{d y}{d x} \cos (x)} = \frac{- e^{- y} \sec (x)}{- \frac{d y}{d x} \cos (x)}$

Passaggio 1.1.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{- e^{- y} \sec (x)}{- \frac{d y}{d x} \cos (x)}$

Passaggio 1.1.3.2.3

Elimina il fattore comune di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{- e^{- y} \sec (x)}{- \frac{d y}{d x} \cos (x)}$

Passaggio 1.1.3.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = \frac{- e^{- y} \sec (x)}{- \frac{d y}{d x} \cos (x)}$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$1 = \frac{e^{- y} \sec (x)}{\frac{d y}{d x} \cos (x)}$

Passaggio 1.1.3.3.2

Frazioni separate.

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x}} \cdot \frac{\sec (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 1.1.3.3.3

Riscrivi $\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x}} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\cos (x)}$

Passaggio 1.1.3.3.4

Riscrivi $\frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ come un prodotto.

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x}} (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)})$

Passaggio 1.1.3.3.5

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.5.1

Moltiplica $\frac{1}{\cos (x)}$ per $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x}} \cdot \frac{1}{\cos (x) \cos (x)}$

Passaggio 1.1.3.3.5.2

Combina.

$1 = \frac{e^{- y} \cdot 1}{\frac{d y}{d x} (\cos (x) \cos (x))}$

Passaggio 1.1.3.3.5.3

Moltiplica $e^{- y}$ per $1$ .

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x} \cos (x) \cos (x)}$

Passaggio 1.1.3.3.6

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.6.1

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x} (\cos^{1} (x) \cos (x))}$

Passaggio 1.1.3.3.6.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x} (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}$

Passaggio 1.1.3.3.6.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x} {\cos (x)}^{1 + 1}}$

Passaggio 1.1.3.3.6.4

Somma $1$ e $1$ .

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.1.3.3.7

Moltiplica per $1$ .

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x} (\cos^{2} (x) \cdot 1)}$

Passaggio 1.1.3.3.8

Frazioni separate.

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x} \cdot 1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.1.3.3.9

Converti da $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ a $\sec^{2} (x)$ .

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x} \cdot 1} \sec^{2} (x)$

Passaggio 1.1.3.3.10

Moltiplica $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x}} \sec^{2} (x)$

Passaggio 1.1.3.3.11

$\frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x}}$ e $\sec^{2} (x)$ .

$1 = \frac{e^{- y} \sec^{2} (x)}{\frac{d y}{d x}}$

Passaggio 1.1.4

Riscrivi l'equazione come $\frac{e^{- y} \sec^{2} (x)}{\frac{d y}{d x}} = 1$ .

$\frac{e^{- y} \sec^{2} (x)}{\frac{d y}{d x}} = 1$

Passaggio 1.1.5

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$\frac{d y}{d x}, 1$

Passaggio 1.1.5.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$\frac{d y}{d x}$

Passaggio 1.1.6

Moltiplica per $\frac{d y}{d x}$ ciascun termine in $\frac{e^{- y} \sec^{2} (x)}{\frac{d y}{d x}} = 1$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{e^{- y} \sec^{2} (x)}{\frac{d y}{d x}} = 1$ per $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{e^{- y} \sec^{2} (x)}{\frac{d y}{d x}} \frac{d y}{d x} = 1 \frac{d y}{d x}$

Passaggio 1.1.6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.2.1

Elimina il fattore comune di $\frac{d y}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{- y} \sec^{2} (x)}{\frac{d y}{d x}} \frac{d y}{d x} = 1 \frac{d y}{d x}$

Passaggio 1.1.6.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{- y} \sec^{2} (x) = 1 \frac{d y}{d x}$

Passaggio 1.1.6.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.3.1

Moltiplica $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$e^{- y} \sec^{2} (x) = \frac{d y}{d x}$

Passaggio 1.1.7

Riscrivi l'equazione come $\frac{d y}{d x} = e^{- y} \sec^{2} (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = e^{- y} \sec^{2} (x)$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{e^{- y}}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} \sec^{2} (x))$

Passaggio 1.3

Elimina il fattore comune di $e^{- y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Scomponi $e^{- y}$ da $e^{- y} \sec^{2} (x)$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} (\sec^{2} (x)))$

Passaggio 1.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} \sec^{2} (x))$

Passaggio 1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \sec^{2} (x)$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{e^{- y}} d y = \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{e^{- y}} d y = \int \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Nega l'esponente di $e^{- y}$ e rimuovilo dal denominatore.

$\int 1 {(e^{- y})}^{- 1} d y = \int \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 2.2.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{- y})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- y \cdot - 1} d y = \int \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 2.2.1.2.1.2

Moltiplica $- y \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\int 1 e^{1 y} d y = \int \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 2.2.1.2.1.2.2

Moltiplica $y$ per $1$ .

$\int 1 e^{y} d y = \int \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 2.2.1.2.2

Moltiplica $e^{y}$ per $1$ .

$\int e^{y} d y = \int \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 2.2.2

L'integrale di $e^{y}$ rispetto a $y$ è $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 2.3

Poiché la derivata di $\tan (x)$ è $\sec^{2} (x)$ , l'integrale di $\sec^{2} (x)$ è $\tan (x)$ .

$e^{y} + C_{1} = \tan (x) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$e^{y} = \tan (x) + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{y}) = \ln (\tan (x) + K)$

Passaggio 3.2

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.1

Espandi $\ln (e^{y})$ spostando $y$ fuori dal logaritmo.

$y \ln (e) = \ln (\tan (x) + K)$

Passaggio 3.2.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\tan (x) + K)$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $y$ per $1$ .

$y = \ln (\tan (x) + K)$