Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} - 6 x y - 12 x = 0$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d y}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 1.1.1

Somma $6 x y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d x} - 12 x = 6 x y$

Passaggio 1.1.2

Somma $12 x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d x} = 6 x y + 12 x$

Passaggio 1.2

Scomponi $6 x$ da $6 x y + 12 x$ .

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Passaggio 1.2.1

Scomponi $6 x$ da $6 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 x (y) + 12 x$

Passaggio 1.2.2

Scomponi $6 x$ da $12 x$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 x (y) + 6 x (2)$

Passaggio 1.2.3

Scomponi $6 x$ da $6 x (y) + 6 x (2)$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 x (y + 2)$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y + 2}$ .

$\frac{1}{y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 2} (6 x (y + 2))$

Passaggio 1.4

Semplifica.

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Passaggio 1.4.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{y + 2} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{1}{y + 2} (x (y + 2))$

Passaggio 1.4.2

$6$ e $\frac{1}{y + 2}$ .

$\frac{1}{y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y + 2} (x (y + 2))$

Passaggio 1.4.3

Elimina il fattore comune di $y + 2$ .

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Passaggio 1.4.3.1

Scomponi $y + 2$ da $x (y + 2)$ .

$\frac{1}{y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y + 2} ((y + 2) x)$

Passaggio 1.4.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y + 2} ((y + 2) x)$

Passaggio 1.4.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y + 2} \frac{d y}{d x} = 6 x$

Passaggio 1.5

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y + 2} d y = 6 x d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y + 2} d y = \int 6 x d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Sia $u = y + 2$ . Allora $d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.2.1.1

Sia $u = y + 2$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

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Passaggio 2.2.1.1.1

Differenzia $y + 2$ .

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

Passaggio 2.2.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y + 2$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

Passaggio 2.2.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

Passaggio 2.2.1.1.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2$ rispetto a $y$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.2.1.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int 6 x d x$

Passaggio 2.2.2

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int 6 x d x$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y + 2$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \int 6 x d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , sposta $6$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = 6 \int x d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Passaggio 2.3.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 2.3.3.1

Riscrivi $6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ come $6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2

Semplifica.

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Passaggio 2.3.3.2.1

$6$ e $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \frac{6}{2} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.2

Elimina il fattore comune di $6$ e $2$ .

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Passaggio 2.3.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.3.3.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \frac{3}{1} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.2.2.4

Dividi $3$ per $1$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = 3 x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| y + 2 |) = 3 x^{2} + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| y + 2 |)} = e^{3 x^{2} + C}$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\ln (| y + 2 |) = 3 x^{2} + C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{3 x^{2} + C} = | y + 2 |$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $| y + 2 | = e^{3 x^{2} + C}$ .

$| y + 2 | = e^{3 x^{2} + C}$

Passaggio 3.3.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y + 2 = \pm e^{3 x^{2} + C}$

Passaggio 3.3.3

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = \pm e^{3 x^{2} + C} - 2$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

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Passaggio 4.1

Riscrivi $e^{3 x^{2} + C}$ come $e^{3 x^{2}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{3 x^{2}} e^{C} - 2$

Passaggio 4.2

Riordina $e^{3 x^{2}}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{3 x^{2}} - 2$

Passaggio 4.3

Combina costanti con il più o il meno.

$y = C e^{3 x^{2}} - 2$