Calcolo Esempi

$(x^{3} + \frac{y}{x}) d x + (y^{2} + \ln (x)) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = x^{3} + \frac{y}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{3} + \frac{y}{x}]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + \frac{y}{x}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

Passaggio 1.2.2

Poiché $x^{3}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x^{3}$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $\frac{1}{x}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $\frac{y}{x}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{1}{x} \cdot 1$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{1}{x}$

Passaggio 1.4

Somma $0$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x}$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = y^{2} + \ln (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2} + \ln (x)]$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{2} + \ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 2.2.2

Poiché $y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $y^{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 2.3

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{x}$

Passaggio 2.4

Somma $0$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{x}$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $\frac{1}{x}$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $\frac{1}{x}$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$

Passaggio 3.2

Dato che è stato dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$ è un'identità.

Passaggio 4

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y^{2} + \ln (x) d y$

Passaggio 5

Integra $N (x, y) = y^{2} + \ln (x)$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$f (x, y) = \int y^{2} d y + \int \ln (x) d y$

Passaggio 5.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} + C + \int \ln (x) d y$

Passaggio 5.3

Applica la regola costante.

$f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} + C + \ln (x) y + C$

Passaggio 5.4

Semplifica.

$f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} + \ln (x) y + C$

Passaggio 6

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} + \ln (x) y + g (x)$

Passaggio 7

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{3} + \frac{y}{x}$

Passaggio 8

Trova $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} y^{3} + \ln (x) y + g (x)] = x^{3} + \frac{y}{x}$

Passaggio 8.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{3} y^{3} + \ln (x) y + g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [\ln (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [\ln (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + \frac{y}{x}$

Passaggio 8.2.2

Poiché $\frac{1}{3} y^{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{3} y^{3}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\ln (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + \frac{y}{x}$

Passaggio 8.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\ln (x) y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\ln (x) y$ rispetto a $x$ è $y \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$0 + y \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + \frac{y}{x}$

Passaggio 8.3.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$0 + y \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + \frac{y}{x}$

Passaggio 8.3.3

$y$ e $\frac{1}{x}$ .

$0 + \frac{y}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + \frac{y}{x}$

Passaggio 8.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (x)$ è $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + \frac{y}{x} + \frac{d g}{d x} = x^{3} + \frac{y}{x}$

Passaggio 8.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.1

Somma $0$ e $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} + \frac{d g}{d x} = x^{3} + \frac{y}{x}$

Passaggio 8.5.2

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} = x^{3} + \frac{y}{x}$

Passaggio 9

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Sposta tutti i termini contenenti variabili sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.1

Sottrai $x^{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} - x^{3} = \frac{y}{x}$

Passaggio 9.1.1.2

Sottrai $\frac{y}{x}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} - x^{3} - \frac{y}{x} = 0$

Passaggio 9.1.1.3

Combina i termini opposti in $\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} - x^{3} - \frac{y}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.3.1

Sottrai $\frac{y}{x}$ da $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d g}{d x} - x^{3} + 0 = 0$

Passaggio 9.1.1.3.2

Somma $\frac{d g}{d x} - x^{3}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} - x^{3} = 0$

Passaggio 9.1.2

Somma $x^{3}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} = x^{3}$

Passaggio 10

Trova l'antiderivata di $x^{3}$ per trovare $g (x)$ .

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Passaggio 10.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d x} = x^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{3} d x$

Passaggio 10.2

Calcola $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x^{3} d x$

Passaggio 10.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$g (x) = \frac{1}{4} x^{4} + C$

Passaggio 11

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} + \ln (x) y + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} + \ln (x) y + \frac{1}{4} x^{4} + C$

Passaggio 12

Semplifica $f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} + \ln (x) y + \frac{1}{4} x^{4} + C$ .

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Passaggio 12.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

$\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} + \ln (x) y + \frac{1}{4} x^{4} + C$

Passaggio 12.1.2

$\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} + \ln (x) y + \frac{x^{4}}{4} + C$

Passaggio 12.2

Riordina i fattori in $f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} + \ln (x) y + \frac{x^{4}}{4} + C$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} + y \ln (x) + \frac{x^{4}}{4} + C$