Calcolo Esempi

$\frac{d r}{d θ} = π \cos (π θ)$ , $r (2) = 2$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d r = π \cos (π θ) d θ$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d r = \int π \cos (π θ) d θ$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$r + C_{1} = \int π \cos (π θ) d θ$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Poiché $π$ è costante rispetto a $θ$ , sposta $π$ fuori dall'integrale.

$r + C_{1} = π \int \cos (π θ) d θ$

Passaggio 2.3.2

Sia $u = π θ$ . Allora $d u = π d θ$ , quindi $\frac{1}{π} d u = d θ$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Sia $u = π θ$ . Trova $\frac{d u}{d θ}$ .

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Passaggio 2.3.2.1.1

Differenzia $π θ$ .

$\frac{d}{d θ} [π θ]$

Passaggio 2.3.2.1.2

Poiché $π$ è costante rispetto a $θ$ , la derivata di $π θ$ rispetto a $θ$ è $π \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$π \frac{d}{d θ} [θ]$

Passaggio 2.3.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ è $n θ^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Passaggio 2.3.2.1.4

Moltiplica $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$r + C_{1} = π \int \cos (u) \frac{1}{π} d u$

Passaggio 2.3.3

$\cos (u)$ e $\frac{1}{π}$ .

$r + C_{1} = π \int \frac{\cos (u)}{π} d u$

Passaggio 2.3.4

Poiché $\frac{1}{π}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{π}$ fuori dall'integrale.

$r + C_{1} = π (\frac{1}{π} \int \cos (u) d u)$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

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Passaggio 2.3.5.1

$\frac{1}{π}$ e $π$ .

$r + C_{1} = \frac{π}{π} \int \cos (u) d u$

Passaggio 2.3.5.2

Elimina il fattore comune di $π$ .

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Passaggio 2.3.5.2.1

Elimina il fattore comune.

$r + C_{1} = \frac{π}{π} \int \cos (u) d u$

Passaggio 2.3.5.2.2

Riscrivi l'espressione.

$r + C_{1} = 1 \int \cos (u) d u$

Passaggio 2.3.5.3

Moltiplica $\int \cos (u) d u$ per $1$ .

$r + C_{1} = \int \cos (u) d u$

Passaggio 2.3.6

L'integrale di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $\sin (u)$ .

$r + C_{1} = \sin (u) + C_{2}$

Passaggio 2.3.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $π θ$ .

$r + C_{1} = \sin (π θ) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$r = \sin (π θ) + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $θ$ con $2$ e $r$ con $2$ in $r = \sin (π θ) + K$ .

$2 = \sin (π \cdot 2) + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $\sin (π \cdot 2) + K = 2$ .

$\sin (π \cdot 2) + K = 2$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.2.1

Semplifica $\sin (π \cdot 2) + K$ .

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Passaggio 4.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1.1

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$\sin (2 \cdot π) + K = 2$

Passaggio 4.2.1.1.2

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$\sin (0) + K = 2$

Passaggio 4.2.1.1.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$0 + K = 2$

Passaggio 4.2.1.2

Somma $0$ e $K$ .

$K = 2$

Passaggio 5

Sostituisci $2$ a $K$ in $r = \sin (π θ) + K$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $2$ a $K$ .

$r = \sin (π θ) + 2$