Calcolo Esempi

$x y d x + 2 (x^{2} + 2 y^{2}) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y]$

Passaggio 1.2

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x y$ rispetto a $y$ è $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cdot 1$

Passaggio 1.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = 2 (x^{2} + 2 y^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 (x^{2} + 2 y^{2})]$

Passaggio 2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 (x^{2} + 2 y^{2})$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 y^{2}]$

Passaggio 2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 2 y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}])$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (2 x + \frac{d}{d x} [2 y^{2}])$

Passaggio 2.5

Poiché $2 y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 y^{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (2 x + 0)$

Passaggio 2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (2 x)$

Passaggio 2.6.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $x$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $4 x$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$x = 4 x$

Passaggio 3.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$x = 4 x$ non è un'identità.

Passaggio 4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $4 x$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{4 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Passaggio 4.2

Sostituisci $x$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{4 x - x}{M}$

Passaggio 4.3

Sostituisci $x y$ a $M$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $x y$ a $M$ .

$\frac{4 x - x}{x y}$

Passaggio 4.3.2

Sottrai $x$ da $4 x$ .

$\frac{3 x}{x y}$

Passaggio 4.3.3

Sostituisci $x y$ a $M$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{x y}$

Passaggio 4.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3}{y}$

Passaggio 4.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{3}{y} d y}$

Passaggio 5

Valuta l'integrale $e^{\int \frac{3}{y} d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $y$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{3 \int \frac{1}{y} d y}$

Passaggio 5.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{3 (\ln (| y |) + C)}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{3 \ln (| y |)} + C$

Passaggio 5.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Semplifica $3 \ln (| y |)$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{3})} + C$

Passaggio 5.4.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$μ (x, y) = {| y |}^{3} + C$

Passaggio 6

Moltiplica entrambi i lati di $x y d x + 2 (x^{2} + 2 y^{2}) d y = 0$ per il fattore di integrazione $y^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $x y$ per $y^{3}$ .

$x y \cdot y^{3} d x + 2 (x^{2} + 2 y^{2}) d y = 0$

Passaggio 6.2

Moltiplica $y$ per $y^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sposta $y^{3}$ .

$x (y^{3} y) d x + 2 (x^{2} + 2 y^{2}) d y = 0$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $y^{3}$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$x (y^{3} y^{1}) d x + 2 (x^{2} + 2 y^{2}) d y = 0$

Passaggio 6.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x y^{3 + 1} d x + 2 (x^{2} + 2 y^{2}) d y = 0$

Passaggio 6.2.3

Somma $3$ e $1$ .

$x y^{4} d x + 2 (x^{2} + 2 y^{2}) d y = 0$

Passaggio 6.3

Moltiplica $2 (x^{2} + 2 y^{2})$ per $y^{3}$ .

$x y^{4} d x + 2 (x^{2} + 2 y^{2}) y^{3} d y = 0$

Passaggio 6.4

Applica la proprietà distributiva.

$x y^{4} d x + (2 x^{2} + 2 (2 y^{2})) y^{3} d y = 0$

Passaggio 6.5

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x y^{4} d x + (2 x^{2} + 4 y^{2}) y^{3} d y = 0$

Passaggio 6.6

Applica la proprietà distributiva.

$x y^{4} d x + (2 x^{2} y^{3} + 4 y^{2} y^{3}) d y = 0$

Passaggio 6.7

Moltiplica $y^{2}$ per $y^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.1

Sposta $y^{3}$ .

$x y^{4} d x + (2 x^{2} y^{3} + 4 (y^{3} y^{2})) d y = 0$

Passaggio 6.7.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x y^{4} d x + (2 x^{2} y^{3} + 4 y^{3 + 2}) d y = 0$

Passaggio 6.7.3

Somma $3$ e $2$ .

$x y^{4} d x + (2 x^{2} y^{3} + 4 y^{5}) d y = 0$

Passaggio 7

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x y^{4} d x$

Passaggio 8

Integra $M (x, y) = x y^{4}$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Poiché $y^{4}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $y^{4}$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = y^{4} \int x d x$

Passaggio 8.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = y^{4} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Passaggio 8.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Riscrivi $y^{4} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ come $y^{4} \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$f (x, y) = y^{4} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Passaggio 8.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

$y^{4}$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{4}}{2} x^{2} + C$

Passaggio 8.3.2.2

$\frac{y^{4}}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{4} x^{2}}{2} + C$

Passaggio 8.3.3

Riordina i termini.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{4} x^{2} + C$

Passaggio 9

Poiché l'integrale di $g (y)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{4} x^{2} + g (y)$

Passaggio 10

Imposta $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x^{2} y^{3} + 4 y^{5}$

Passaggio 11

Trova $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Differenzia $f$ rispetto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{4} x^{2} + g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + 4 y^{5}$

Passaggio 11.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{2} y^{4} x^{2} + g (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{4} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{4} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + 4 y^{5}$

Passaggio 11.3

Calcola $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{4} x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

$\frac{1}{2}$ e $y^{4}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + 4 y^{5}$

Passaggio 11.3.2

$\frac{y^{4}}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{4} x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + 4 y^{5}$

Passaggio 11.3.3

Poiché $\frac{x^{2}}{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $\frac{y^{4} x^{2}}{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + 4 y^{5}$

Passaggio 11.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{x^{2}}{2} (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + 4 y^{5}$

Passaggio 11.3.5

$4$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{4 x^{2}}{2} y^{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + 4 y^{5}$

Passaggio 11.3.6

$\frac{4 x^{2}}{2}$ e $y^{3}$ .

$\frac{4 x^{2} y^{3}}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + 4 y^{5}$

Passaggio 11.3.7

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.7.1

Scomponi $2$ da $4 x^{2} y^{3}$ .

$\frac{2 (2 x^{2} y^{3})}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + 4 y^{5}$

Passaggio 11.3.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.7.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (2 x^{2} y^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + 4 y^{5}$

Passaggio 11.3.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (2 x^{2} y^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + 4 y^{5}$

Passaggio 11.3.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 x^{2} y^{3}}{1} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + 4 y^{5}$

Passaggio 11.3.7.2.4

Dividi $2 x^{2} y^{3}$ per $1$ .

$2 x^{2} y^{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + 4 y^{5}$

Passaggio 11.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (y)$ è $\frac{d g}{d y}$ .

$2 x^{2} y^{3} + \frac{d g}{d y} = 2 x^{2} y^{3} + 4 y^{5}$

Passaggio 11.5

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d y} + 2 y^{3} x^{2} = 2 x^{2} y^{3} + 4 y^{5}$

Passaggio 12

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d y}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Sottrai $2 y^{3} x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} = 2 x^{2} y^{3} + 4 y^{5} - 2 y^{3} x^{2}$

Passaggio 12.1.2

Combina i termini opposti in $2 x^{2} y^{3} + 4 y^{5} - 2 y^{3} x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.2.1

Riordina i fattori nei termini di $2 x^{2} y^{3}$ e $- 2 y^{3} x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 y^{3} x^{2} + 4 y^{5} - 2 y^{3} x^{2}$

Passaggio 12.1.2.2

Sottrai $2 y^{3} x^{2}$ da $2 y^{3} x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = 4 y^{5} + 0$

Passaggio 12.1.2.3

Somma $4 y^{5}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 4 y^{5}$

Passaggio 13

Trova l'antiderivata di $4 y^{5}$ per trovare $g (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d y} = 4 y^{5}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 4 y^{5} d y$

Passaggio 13.2

Calcola $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 4 y^{5} d y$

Passaggio 13.3

Poiché $4$ è costante rispetto a $y$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$g (y) = 4 \int y^{5} d y$

Passaggio 13.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{5}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{6} y^{6}$ .

$g (y) = 4 (\frac{1}{6} y^{6} + C)$

Passaggio 13.5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.5.1

Riscrivi $4 (\frac{1}{6} y^{6} + C)$ come $4 (\frac{1}{6}) y^{6} + C$ .

$g (y) = 4 (\frac{1}{6}) y^{6} + C$

Passaggio 13.5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.5.2.1

$4$ e $\frac{1}{6}$ .

$g (y) = \frac{4}{6} y^{6} + C$

Passaggio 13.5.2.2

Elimina il fattore comune di $4$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.5.2.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$g (y) = \frac{2 (2)}{6} y^{6} + C$

Passaggio 13.5.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.5.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3} y^{6} + C$

Passaggio 13.5.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$g (y) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3} y^{6} + C$

Passaggio 13.5.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$g (y) = \frac{2}{3} y^{6} + C$

Passaggio 14

Sostituisci a $g (y)$ in $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{4} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{4} x^{2} + \frac{2}{3} y^{6} + C$

Passaggio 15

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

$\frac{1}{2}$ e $y^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{4}}{2} x^{2} + \frac{2}{3} y^{6} + C$

Passaggio 15.2

$\frac{y^{4}}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{4} x^{2}}{2} + \frac{2}{3} y^{6} + C$

Passaggio 15.3

$\frac{2}{3}$ e $y^{6}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{4} x^{2}}{2} + \frac{2 y^{6}}{3} + C$