Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} - y = 2 e^{x} y^{2}$

Passaggio 1

Per risolvere l'equazione differenziale, sia $v = y^{1 - n}$ , dove $n$ è l'esponente di $y^{2}$ .

$v = y^{- 1}$

Passaggio 2

Risolvi l'equazione per $y$ .

$y = v^{- 1}$

Passaggio 3

Trova la derivata di $y$ rispetto a $x$ .

$y' = v^{- 1}$

Passaggio 4

Trova la derivata di $v^{- 1}$ rispetto a $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata di $v^{- 1}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

Passaggio 4.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 1$ e $g (x) = v$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Passaggio 4.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Passaggio 4.4.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Passaggio 4.4.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.3.1

Moltiplica $v$ per $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Passaggio 4.4.3.2

Sottrai $\frac{d}{d x} [v]$ da $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Passaggio 4.4.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Passaggio 4.5

Riscrivi $\frac{d}{d x} [v]$ come $v'$ .

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

Passaggio 5

Sostituisci $- \frac{v'}{v^{2}}$ a $\frac{d y}{d x}$ e $v^{- 1}$ a $y$ nell'equazione originale $\frac{d y}{d x} - y = 2 e^{x} y^{2}$ .

$- \frac{v'}{v^{2}} - v^{- 1} = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2}$

Passaggio 6

Risolvi l'equazione differenziale sostituita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica per $- v^{2}$ ciascun termine in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - v^{- 1} = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - v^{- 1} = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2}$ per $- v^{2}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - v^{- 1} (- v^{2}) = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 6.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1.1

Elimina il fattore comune di $v^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ nel numeratore.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - v^{- 1} (- v^{2}) = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 6.1.2.1.1.2

Scomponi $v^{2}$ da $- v^{2}$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - v^{- 1} (- v^{2}) = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 6.1.2.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - v^{- 1} (- v^{2}) = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 6.1.2.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 - v^{- 1} (- v^{2}) = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 6.1.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} - v^{- 1} (- v^{2}) = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 6.1.2.1.3

Moltiplica $\frac{d v}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d v}{d x} - v^{- 1} (- v^{2}) = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 6.1.2.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{- 1} v^{2} = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 6.1.2.1.5

Moltiplica $v^{- 1}$ per $v^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1.5.1

Sposta $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 (v^{2} v^{- 1}) = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 6.1.2.1.5.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{2 - 1} = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 6.1.2.1.5.3

Sottrai $1$ da $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{1} = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 6.1.2.1.6

Semplifica $- 1 \cdot - 1 v^{1}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 6.1.2.1.7

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + 1 v = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 6.1.2.1.8

Moltiplica $v$ per $1$ .

$\frac{d v}{d x} + v = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 6.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${(v^{- 1})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} + v = 2 e^{x} v^{- 1 \cdot 2} (- v^{2})$

Passaggio 6.1.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{d v}{d x} + v = 2 e^{x} v^{- 2} (- v^{2})$

Passaggio 6.1.3.2

Moltiplica $v^{- 2}$ per $v^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.2.1

Sposta $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + v = 2 e^{x} (v^{2} v^{- 2}) \cdot - 1$

Passaggio 6.1.3.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d v}{d x} + v = 2 e^{x} v^{2 - 2} \cdot - 1$

Passaggio 6.1.3.2.3

Sottrai $2$ da $2$ .

$\frac{d v}{d x} + v = 2 e^{x} v^{0} \cdot - 1$

Passaggio 6.1.3.3

Semplifica $2 e^{x} v^{0} \cdot - 1$ .

$\frac{d v}{d x} + v = 2 e^{x} \cdot - 1$

Passaggio 6.1.3.4

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - 2 e^{x}$

Passaggio 6.2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int d x}$

Passaggio 6.2.2

Applica la regola costante.

$e^{x + C}$

Passaggio 6.2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{x}$

Passaggio 6.3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Moltiplica ogni termine per $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} (- 2 e^{x})$

Passaggio 6.3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - 2 e^{x} e^{x}$

Passaggio 6.3.3

Moltiplica $e^{x}$ per $e^{x}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Sposta $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - 2 (e^{x} e^{x})$

Passaggio 6.3.3.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - 2 e^{x + x}$

Passaggio 6.3.3.3

Somma $x$ e $x$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - 2 e^{2 x}$

Passaggio 6.3.4

Riordina i fattori in $e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - 2 e^{2 x}$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + v e^{x} = - 2 e^{2 x}$

Passaggio 6.4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [e^{x} v] = - 2 e^{2 x}$

Passaggio 6.5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} v] d x = \int - 2 e^{2 x} d x$

Passaggio 6.6

Integra il lato sinistro.

$e^{x} v = \int - 2 e^{2 x} d x$

Passaggio 6.7

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$e^{x} v = - 2 \int e^{2 x} d x$

Passaggio 6.7.2

Sia $u = 2 x$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.2.1

Sia $u = 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.2.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 6.7.2.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 6.7.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 6.7.2.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 6.7.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{x} v = - 2 \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Passaggio 6.7.3

$e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{x} v = - 2 \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Passaggio 6.7.4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$e^{x} v = - 2 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Passaggio 6.7.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.5.1

$\frac{1}{2}$ e $- 2$ .

$e^{x} v = \frac{- 2}{2} \int e^{u} d u$

Passaggio 6.7.5.2

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.5.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$e^{x} v = \frac{2 \cdot - 1}{2} \int e^{u} d u$

Passaggio 6.7.5.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.5.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$e^{x} v = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int e^{u} d u$

Passaggio 6.7.5.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$e^{x} v = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int e^{u} d u$

Passaggio 6.7.5.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$e^{x} v = \frac{- 1}{1} \int e^{u} d u$

Passaggio 6.7.5.2.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$e^{x} v = - \int e^{u} d u$

Passaggio 6.7.6

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$e^{x} v = - (e^{u} + C)$

Passaggio 6.7.7

Semplifica.

$e^{x} v = - e^{u} + C$

Passaggio 6.7.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$e^{x} v = - e^{2 x} + C$

Passaggio 6.8

Dividi per $e^{x}$ ciascun termine in $e^{x} v = - e^{2 x} + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.1

Dividi per $e^{x}$ ciascun termine in $e^{x} v = - e^{2 x} + C$ .

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{- e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 6.8.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{- e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 6.8.2.1.2

Dividi $v$ per $1$ .

$v = \frac{- e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 6.8.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.3.1

Elimina il fattore comune di $e^{2 x}$ e $e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.3.1.1

Scomponi $e^{x}$ da $- e^{2 x}$ .

$v = \frac{e^{x} (- e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 6.8.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.3.1.2.1

Moltiplica per $1$ .

$v = \frac{e^{x} (- e^{x})}{e^{x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 6.8.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$v = \frac{e^{x} (- e^{x})}{e^{x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 6.8.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$v = \frac{- e^{x}}{1} + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 6.8.3.1.2.4

Dividi $- e^{x}$ per $1$ .

$v = - e^{x} + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 7

Sostituisci $y^{- 1}$ a $v$ .

$y^{- 1} = - e^{x} + \frac{C}{e^{x}}$