Calcolo Esempi

$x d y + (x y + y - 1) d x = 0$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale per adattarla alla tecnica di equazione differenziale esatta.

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Passaggio 1.1

Riscrivi.

$(x y + y - 1) d x + x d y = 0$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = x y + y - 1$ .

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Passaggio 2.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y + y - 1]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x y + y - 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d y} [x y]$ .

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Passaggio 2.3.1

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x y$ rispetto a $y$ è $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.4

Differenzia.

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Passaggio 2.4.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.4.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 1 + 0$

Passaggio 2.4.3

Somma $x + 1$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 1$

Passaggio 3

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = x$ .

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Passaggio 3.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Passaggio 4

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Passaggio 4.1

Sostituisci $x + 1$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $1$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$x + 1 = 1$

Passaggio 4.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$x + 1 = 1$ non è un'identità.

Passaggio 5

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Passaggio 5.1

Sostituisci $x + 1$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{x + 1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Passaggio 5.2

Sostituisci $1$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{x + 1 - 1}{N}$

Passaggio 5.3

Sostituisci $x$ a $N$ .

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Passaggio 5.3.1

Sostituisci $x$ a $N$ .

$\frac{x + 1 - 1}{x}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.3.2.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{x + 0}{x}$

Passaggio 5.3.2.2

Somma $x$ e $0$ .

$\frac{x}{x}$

Passaggio 5.3.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 5.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x}{x}$

Passaggio 5.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$1$

Passaggio 5.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int d x}$

Passaggio 6

Valuta l'integrale $e^{\int d x}$ .

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Passaggio 6.1

Applica la regola costante.

$μ (x, y) = e^{x + C}$

Passaggio 6.2

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{x} + C$

Passaggio 7

Moltiplica entrambi i lati di $(x y + y - 1) d x + x d y = 0$ per il fattore di integrazione $e^{x}$ .

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Passaggio 7.1

Moltiplica $x y + y - 1$ per $e^{x}$ .

$(x y + y - 1) e^{x} d x + x d y = 0$

Passaggio 7.2

Applica la proprietà distributiva.

$(x y e^{x} + y e^{x} - 1 e^{x}) d x + x d y = 0$

Passaggio 7.3

Riscrivi $- 1 e^{x}$ come $- e^{x}$ .

$(x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}) d x + x d y = 0$

Passaggio 7.4

Moltiplica $x$ per $e^{x}$ .

$(x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}) d x + x e^{x} d y = 0$

Passaggio 8

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x e^{x} d y$

Passaggio 9

Integra $N (x, y) = x e^{x}$ per trovare $f (x, y)$ .

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Passaggio 9.1

Applica la regola costante.

$f (x, y) = x e^{x} y + C$

Passaggio 10

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = x e^{x} y + g (x)$

Passaggio 11

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Passaggio 12

Trova $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Passaggio 12.1

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{x} y + g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Passaggio 12.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x e^{x} y + g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x e^{x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Passaggio 12.3

Calcola $\frac{d}{d x} [x e^{x} y]$ .

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Passaggio 12.3.1

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $x e^{x} y$ rispetto a $x$ è $y \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Passaggio 12.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$y (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Passaggio 12.3.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$y (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Passaggio 12.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$y (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Passaggio 12.3.5

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$y (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Passaggio 12.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (x)$ è $\frac{d g}{d x}$ .

$y (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d g}{d x} = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Passaggio 12.5

Semplifica.

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Passaggio 12.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$y (x e^{x}) + y e^{x} + \frac{d g}{d x} = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Passaggio 12.5.2

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d x} + e^{x} x y + e^{x} y = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Passaggio 12.5.3

Riordina i fattori in $\frac{d g}{d x} + e^{x} x y + e^{x} y$ .

$\frac{d g}{d x} + x y e^{x} + y e^{x} = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Passaggio 13

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

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Passaggio 13.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 13.1.1

Sottrai $x y e^{x}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} + y e^{x} = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x} - x y e^{x}$

Passaggio 13.1.2

Sottrai $y e^{x}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x} - x y e^{x} - y e^{x}$

Passaggio 13.1.3

Combina i termini opposti in $x y e^{x} + y e^{x} - e^{x} - x y e^{x} - y e^{x}$ .

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Passaggio 13.1.3.1

Sottrai $x y e^{x}$ da $x y e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0 + y e^{x} - e^{x} - y e^{x}$

Passaggio 13.1.3.2

Somma $0$ e $y e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = y e^{x} - e^{x} - y e^{x}$

Passaggio 13.1.3.3

Sottrai $y e^{x}$ da $y e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0 - e^{x}$

Passaggio 13.1.3.4

Sottrai $e^{x}$ da $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - e^{x}$

Passaggio 14

Trova l'antiderivata di $- e^{x}$ per trovare $g (x)$ .

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Passaggio 14.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d x} = - e^{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - e^{x} d x$

Passaggio 14.2

Calcola $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - e^{x} d x$

Passaggio 14.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$g (x) = - \int e^{x} d x$

Passaggio 14.4

L'integrale di $e^{x}$ rispetto a $x$ è $e^{x}$ .

$g (x) = - (e^{x} + C)$

Passaggio 14.5

Semplifica.

$g (x) = - e^{x} + C$

Passaggio 15

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = x e^{x} y + g (x)$ .

$f (x, y) = x e^{x} y - e^{x} + C$

Passaggio 16

Riordina i fattori in $f (x, y) = x e^{x} y - e^{x} + C$ .

$f (x, y) = x y e^{x} - e^{x} + C$