Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 1}{x^{2}}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x^{2}}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $y^{2} + 1$ .

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Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.2.1.1

Riordina $y^{2}$ e $1$ .

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.2

L'integrale di $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ rispetto a $y$ è $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 2.3.1.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 2.3.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.3.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 2.3.1.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3

Riscrivi $- x^{- 1} + C_{2}$ come $- \frac{1}{x} + C_{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = - \frac{1}{x} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\arctan (y) = - \frac{1}{x} + K$

Passaggio 3

Trova l'arcotangente inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $y$ da dentro l'arcotangente.

$y = \tan (- \frac{1}{x} + K)$