Calcolo Esempi

$4 x y^{2} d x + (x^{2} + 1) d y = 0$

Passaggio 1

Sottrai $4 x y^{2} d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$(x^{2} + 1) d y = - 4 x y^{2} d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}}$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}} (- 4 x y^{2}) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $x^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Scomponi $x^{2} + 1$ da $(x^{2} + 1) y^{2}$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 1) (y^{2})} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}} (- 4 x y^{2}) d x$

Passaggio 3.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}} (- 4 x y^{2}) d x$

Passaggio 3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}} (- 4 x y^{2}) d x$

Passaggio 3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{y^{2}} d y = - 4 \frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}} (x y^{2}) d x$

Passaggio 3.3

$- 4$ e $\frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 4}{(x^{2} + 1) y^{2}} (x y^{2}) d x$

Passaggio 3.4

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Scomponi $y^{2}$ da $(x^{2} + 1) y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 4}{y^{2} (x^{2} + 1)} (x y^{2}) d x$

Passaggio 3.4.2

Scomponi $y^{2}$ da $x y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 4}{y^{2} (x^{2} + 1)} (y^{2} x) d x$

Passaggio 3.4.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 4}{y^{2} (x^{2} + 1)} (y^{2} x) d x$

Passaggio 3.4.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 4}{x^{2} + 1} x d x$

Passaggio 3.5

$\frac{- 4}{x^{2} + 1}$ e $x$ .

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 4 x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 3.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{y^{2}} d y = - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 4.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Sposta $y^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 4.2.1.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 4.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{- 2}$ rispetto a $y$ è $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 4.2.3

Riscrivi $- y^{- 1} + C_{1}$ come $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 4.3.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (4 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x)$

Passaggio 4.3.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 4 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 4.3.4

Sia $u = x^{2} + 1$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Sia $u = x^{2} + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1.1

Differenzia $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 4.3.4.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.3.4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.3.4.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 0$

Passaggio 4.3.4.1.5

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Passaggio 4.3.4.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 4.3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Passaggio 4.3.5.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{2 u} d u$

Passaggio 4.3.6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 4.3.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.7.1

$\frac{1}{2}$ e $- 4$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{- 4}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 4.3.7.2

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.7.2.1

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 4.3.7.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.7.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 4.3.7.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 4.3.7.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{- 2}{1} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 4.3.7.2.2.4

Dividi $- 2$ per $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 4.3.8

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 2 (\ln (| u |) + C_{2})$

Passaggio 4.3.9

Semplifica.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 2 \ln (| u |) + C_{2}$

Passaggio 4.3.10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 2 \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{2}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$- \frac{1}{y} = - 2 \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Passaggio 5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica $- 2 \ln (| x^{2} + 1 |)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$- \frac{1}{y} = - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) + C$

Passaggio 5.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$y, 1, 1$

Passaggio 5.2.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$y$

Passaggio 5.3

Moltiplica per $y$ ciascun termine in $- \frac{1}{y} = - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) + C$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{1}{y} = - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) + C$ per $y$ .

$- \frac{1}{y} y = - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) y + C y$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{y}$ nel numeratore.

$\frac{- 1}{y} y = - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) y + C y$

Passaggio 5.3.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{y} y = - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) y + C y$

Passaggio 5.3.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- 1 = - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) y + C y$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Rimuovi il valore assoluto in ${| x^{2} + 1 |}^{2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$- 1 = - \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) y + C y$

Passaggio 5.3.3.2

Riordina i fattori in $- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) y + C y$ .

$- 1 = - y \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C y$

Passaggio 5.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Riscrivi l'equazione come $- y \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C y = - 1$ .

$- y \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C y = - 1$

Passaggio 5.4.2

Scomponi $y$ da $- y \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Scomponi $y$ da $- y \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})$ .

$y (- 1 \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})) + C y = - 1$

Passaggio 5.4.2.2

Scomponi $y$ da $C y$ .

$y (- 1 \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})) + y C = - 1$

Passaggio 5.4.2.3

Scomponi $y$ da $y (- 1 \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})) + y C$ .

$y (- 1 \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C) = - 1$

Passaggio 5.4.3

Riscrivi $- 1 \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})$ come $- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})$ .

$y (- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C) = - 1$

Passaggio 5.4.4

Dividi per $- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C$ ciascun termine in $y (- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C) = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.4.1

Dividi per $- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C$ ciascun termine in $y (- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C) = - 1$ .

$\frac{y (- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C)}{- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C} = \frac{- 1}{- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C}$

Passaggio 5.4.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.4.2.1

Elimina il fattore comune di $- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C)}{- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C} = \frac{- 1}{- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C}$

Passaggio 5.4.4.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- 1}{- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C}$

Passaggio 5.4.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.4.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{1}{- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C}$

Passaggio 5.4.4.3.2

Scomponi $- 1$ da $- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})$ .

$y = - \frac{1}{- (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2})) + C}$

Passaggio 5.4.4.3.3

Scomponi $- 1$ da $C$ .

$y = - \frac{1}{- (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2})) - 1 (- C)}$

Passaggio 5.4.4.3.4

Scomponi $- 1$ da $- (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2})) - 1 (- C)$ .

$y = - \frac{1}{- (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C)}$

Passaggio 5.4.4.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.4.3.5.1

Riscrivi $- (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C)$ come $- 1 (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C)$ .

$y = - \frac{1}{- 1 (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C)}$

Passaggio 5.4.4.3.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - - \frac{1}{\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C}$

Passaggio 5.4.4.3.5.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y = 1 \frac{1}{\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C}$

Passaggio 5.4.4.3.5.4

Moltiplica $\frac{1}{\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C}$ per $1$ .

$y = \frac{1}{\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C}$

Passaggio 6

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{1}{\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C}$