Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = {(y - 1)}^{2}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{{(y - 1)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(y - 1)}^{2}} {(y - 1)}^{2}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di ${(y - 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{{(y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(y - 1)}^{2}} {(y - 1)}^{2}$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{{(y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = 1$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{{(y - 1)}^{2}} d y = 1 d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{{(y - 1)}^{2}} d y = \int d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sia $u = y - 1$ . Allora $d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sia $u = y - 1$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Differenzia $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Passaggio 2.2.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y - 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.2.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.2.1.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.2.1.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} d u = \int d x$

Passaggio 2.2.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Sposta $u^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(u^{2})}^{- 1} d u = \int d x$

Passaggio 2.2.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{2 \cdot - 1} d u = \int d x$

Passaggio 2.2.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int u^{- 2} d u = \int d x$

Passaggio 2.2.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- 2}$ rispetto a $u$ è $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1} + C_{1} = \int d x$

Passaggio 2.2.4

Riscrivi $- u^{- 1} + C_{1}$ come $- \frac{1}{u} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{u} + C_{1} = \int d x$

Passaggio 2.2.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y - 1$ .

$- \frac{1}{y - 1} + C_{1} = \int d x$

Passaggio 2.3

Applica la regola costante.

$- \frac{1}{y - 1} + C_{1} = x + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$- \frac{1}{y - 1} = x + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$y - 1, 1, 1$

Passaggio 3.1.2

Rimuovi le parentesi.

$y - 1, 1, 1$

Passaggio 3.1.3

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$y - 1$

Passaggio 3.2

Moltiplica per $y - 1$ ciascun termine in $- \frac{1}{y - 1} = x + K$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{1}{y - 1} = x + K$ per $y - 1$ .

$- \frac{1}{y - 1} (y - 1) = x (y - 1) + K (y - 1)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $y - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{y - 1}$ nel numeratore.

$\frac{- 1}{y - 1} (y - 1) = x (y - 1) + K (y - 1)$

Passaggio 3.2.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{y - 1} (y - 1) = x (y - 1) + K (y - 1)$

Passaggio 3.2.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- 1 = x (y - 1) + K (y - 1)$

Passaggio 3.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 1 = x y + x \cdot - 1 + K (y - 1)$

Passaggio 3.2.3.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$- 1 = x y - 1 \cdot x + K (y - 1)$

Passaggio 3.2.3.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$- 1 = x y - x + K (y - 1)$

Passaggio 3.2.3.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$- 1 = x y - x + K y + K \cdot - 1$

Passaggio 3.2.3.1.5

Sposta $- 1$ alla sinistra di $K$ .

$- 1 = x y - x + K y - 1 \cdot K$

Passaggio 3.2.3.1.6

Riscrivi $- 1 K$ come $- K$ .

$- 1 = x y - x + K y - K$

Passaggio 3.3

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $x y - x + K y - K = - 1$ .

$x y - x + K y - K = - 1$

Passaggio 3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Somma $x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x y + K y - K = - 1 + x$

Passaggio 3.3.2.2

Somma $K$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x y + K y = - 1 + x + K$

Passaggio 3.3.3

Scomponi $y$ da $x y + K y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Scomponi $y$ da $x y$ .

$y x + K y = - 1 + x + K$

Passaggio 3.3.3.2

Scomponi $y$ da $K y$ .

$y x + y K = - 1 + x + K$

Passaggio 3.3.3.3

Scomponi $y$ da $y x + y K$ .

$y (x + K) = - 1 + x + K$

Passaggio 3.3.4

Dividi per $x + K$ ciascun termine in $y (x + K) = - 1 + x + K$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.1

Dividi per $x + K$ ciascun termine in $y (x + K) = - 1 + x + K$ .

$\frac{y (x + K)}{x + K} = \frac{- 1}{x + K} + \frac{x}{x + K} + \frac{K}{x + K}$

Passaggio 3.3.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.2.1

Elimina il fattore comune di $x + K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (x + K)}{x + K} = \frac{- 1}{x + K} + \frac{x}{x + K} + \frac{K}{x + K}$

Passaggio 3.3.4.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- 1}{x + K} + \frac{x}{x + K} + \frac{K}{x + K}$

Passaggio 3.3.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{1}{x + K} + \frac{x}{x + K} + \frac{K}{x + K}$

Passaggio 3.3.4.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{- 1 + x}{x + K} + \frac{K}{x + K}$

Passaggio 3.3.4.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{- 1 + x + K}{x + K}$

Passaggio 3.3.4.3.4

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$y = \frac{- 1 (1) + x + K}{x + K}$

Passaggio 3.3.4.3.5

Scomponi $- 1$ da $x$ .

$y = \frac{- 1 (1) - 1 (- x) + K}{x + K}$

Passaggio 3.3.4.3.6

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - 1 (- x)$ .

$y = \frac{- 1 (1 - x) + K}{x + K}$

Passaggio 3.3.4.3.7

Scomponi $- 1$ da $K$ .

$y = \frac{- 1 (1 - x) - 1 (- K)}{x + K}$

Passaggio 3.3.4.3.8

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1 - x) - 1 (- K)$ .

$y = \frac{- 1 (1 - x - K)}{x + K}$

Passaggio 3.3.4.3.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{1 - x - K}{x + K}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = - \frac{1 - x + K}{x + K}$