Calcolo Esempi

$x \sin (\frac{y}{x}) \frac{d y}{d x} + x - y \sin (\frac{y}{x}) = 0$

Passaggio 1

Risolvi per $\frac{d y}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Riordina i fattori in $x \sin (\frac{y}{x}) \frac{d y}{d x} + x - y \sin (\frac{y}{x})$ .

$x \frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x}) + x - y \sin (\frac{y}{x}) = 0$

Passaggio 1.2

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d y}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x \frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x}) - y \sin (\frac{y}{x}) = - x$

Passaggio 1.2.2

Somma $y \sin (\frac{y}{x})$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x \frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x}) = - x + y \sin (\frac{y}{x})$

Passaggio 1.3

Dividi per $x \sin (\frac{y}{x})$ ciascun termine in $x \frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x}) = - x + y \sin (\frac{y}{x})$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Dividi per $x \sin (\frac{y}{x})$ ciascun termine in $x \frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x}) = - x + y \sin (\frac{y}{x})$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})} = \frac{- x}{x \sin (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

Passaggio 1.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})} = \frac{- x}{x \sin (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

Passaggio 1.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x})}{\sin (\frac{y}{x})} = \frac{- x}{x \sin (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

Passaggio 1.3.2.2

Elimina il fattore comune di $\sin (\frac{y}{x})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x})}{\sin (\frac{y}{x})} = \frac{- x}{x \sin (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

Passaggio 1.3.2.2.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x}{x \sin (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

Passaggio 1.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x}{x \sin (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

Passaggio 1.3.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{\sin (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

Passaggio 1.3.3.1.2

Frazioni separate.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{1} \cdot \frac{1}{\sin (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

Passaggio 1.3.3.1.3

Converti da $\frac{1}{\sin (\frac{y}{x})}$ a $\csc (\frac{y}{x})$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{1} \csc (\frac{y}{x}) + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

Passaggio 1.3.3.1.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \csc (\frac{y}{x}) + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

Passaggio 1.3.3.1.5

Elimina il fattore comune di $\sin (\frac{y}{x})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = - \csc (\frac{y}{x}) + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

Passaggio 1.3.3.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = - \csc (\frac{y}{x}) + \frac{y}{x}$

Passaggio 2

Sia $V = \frac{y}{x}$ . Sostituisci $V$ a $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \csc (V) + V$

Passaggio 3

Risolvi $V = \frac{y}{x}$ per $y$ .

$y = V x$

Passaggio 4

Usa la regola del prodotto per trovare la derivata di $y = V x$ rispetto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Passaggio 5

Sostituisci $x \frac{d V}{d x} + V$ a $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = - \csc (V) + V$

Passaggio 6

Risolvi l'equazione differenziale sostituita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Risolvi per $\frac{d V}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d V}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1.1

Sottrai $V$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x \frac{d V}{d x} = - \csc (V) + V - V$

Passaggio 6.1.1.1.2

Combina i termini opposti in $- \csc (V) + V - V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1.2.1

Sottrai $V$ da $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = - \csc (V) + 0$

Passaggio 6.1.1.1.2.2

Somma $- \csc (V)$ e $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = - \csc (V)$

Passaggio 6.1.1.2

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d V}{d x} = - \csc (V)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d V}{d x} = - \csc (V)$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- \csc (V)}{x}$

Passaggio 6.1.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- \csc (V)}{x}$

Passaggio 6.1.1.2.2.1.2

Dividi $\frac{d V}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \csc (V)}{x}$

Passaggio 6.1.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{\csc (V)}{x}$

Passaggio 6.1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{\csc (V)}$ .

$\frac{1}{\csc (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\csc (V)} (- \frac{\csc (V)}{x})$

Passaggio 6.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{\csc (V)} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{\csc (V)} \cdot \frac{\csc (V)}{x}$

Passaggio 6.1.3.2

Elimina il fattore comune di $\csc (V)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{\csc (V)}$ nel numeratore.

$\frac{1}{\csc (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{\csc (V)} \cdot \frac{\csc (V)}{x}$

Passaggio 6.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\csc (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{\csc (V)} \cdot \frac{\csc (V)}{x}$

Passaggio 6.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\csc (V)} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x}$

Passaggio 6.1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{\csc (V)} d V = - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{\csc (V)} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Riscrivi $\csc (V)$ in termini di seno e coseno.

$\int \frac{1}{\frac{1}{\sin (V)}} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.1.2

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{\sin (V)}$ .

$\int 1 \sin (V) d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.1.3

Moltiplica $\sin (V)$ per $1$ .

$\int \sin (V) d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.2

L'integrale di $\sin (V)$ rispetto a $V$ è $- \cos (V)$ .

$- \cos (V) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \cos (V) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.3.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$- \cos (V) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Passaggio 6.2.3.3

Semplifica.

$- \cos (V) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Passaggio 6.2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$- \cos (V) = - \ln (| x |) + C$

Passaggio 6.3

Risolvi per $V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \cos (V) = - \ln (| x |) + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \cos (V) = - \ln (| x |) + C$ .

$\frac{- \cos (V)}{- 1} = \frac{- \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 6.3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\cos (V)}{1} = \frac{- \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 6.3.1.2.2

Dividi $\cos (V)$ per $1$ .

$\cos (V) = \frac{- \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 6.3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.3.1.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\cos (V) = \frac{\ln (| x |)}{1} + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 6.3.1.3.1.2

Dividi $\ln (| x |)$ per $1$ .

$\cos (V) = \ln (| x |) + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 6.3.1.3.1.3

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{C}{- 1}$ .

$\cos (V) = \ln (| x |) - 1 \cdot C$

Passaggio 6.3.1.3.1.4

Riscrivi $- 1 \cdot C$ come $- C$ .

$\cos (V) = \ln (| x |) - C$

Passaggio 6.3.2

Trova il valore dell'incognita $V$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$V = \arccos (\ln (| x |) - C)$

Passaggio 6.4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$V = \arccos (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 7

Sostituisci $\frac{y}{x}$ a $V$ .

$\frac{y}{x} = \arccos (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 8

Risolvi $\frac{y}{x} = \arccos (\ln (| x |) + C)$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Moltiplica ogni lato per $x$ .

$\frac{y}{x} x = \arccos (\ln (| x |) + C) x$

Passaggio 8.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{x} x = \arccos (\ln (| x |) + C) x$

Passaggio 8.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \arccos (\ln (| x |) + C) x$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Riordina i fattori in $\arccos (\ln (| x |) + C) x$ .

$y = x \arccos (\ln (| x |) + C)$