Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{x (y - 3)}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{y - 3} \cdot \frac{1}{x}$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{y - 3}{4 y}$ .

$\frac{y - 3}{4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 3}{4 y} (\frac{4 y}{y - 3} \cdot \frac{1}{x})$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Moltiplica $\frac{4 y}{y - 3}$ per $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y - 3}{4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 3}{4 y} \cdot \frac{4 y}{(y - 3) x}$

Passaggio 1.3.2

Elimina il fattore comune di $y - 3$ .

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Passaggio 1.3.2.1

Scomponi $y - 3$ da $(y - 3) x$ .

$\frac{y - 3}{4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 3}{4 y} \cdot \frac{4 y}{(y - 3) (x)}$

Passaggio 1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{y - 3}{4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 3}{4 y} \cdot \frac{4 y}{(y - 3) x}$

Passaggio 1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y - 3}{4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 y} \cdot \frac{4 y}{x}$

Passaggio 1.3.3

Elimina il fattore comune di $4 y$ .

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Passaggio 1.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y - 3}{4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 y} \cdot \frac{4 y}{x}$

Passaggio 1.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y - 3}{4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{y - 3}{4 y} d y = \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{y - 3}{4 y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $y$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} \int \frac{y - 3}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.2

Dividi $y - 3$ per $y$ .

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Passaggio 2.2.2.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$y$

$0$

$y$

$3$

Passaggio 2.2.2.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $y$ per il termine di ordine più alto nel divisore $y$ .

					$1$
	$y$	+	$0$		$y$	-	$3$

Passaggio 2.2.2.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$1$
$y$	+	$0$		$y$	-	$3$
			+	$y$	+	$0$

Passaggio 2.2.2.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $y + 0$

				$1$
$y$	+	$0$		$y$	-	$3$
			-	$y$	-	$0$

Passaggio 2.2.2.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$1$
$y$	+	$0$		$y$	-	$3$
			-	$y$	-	$0$
					-	$3$

Passaggio 2.2.2.6

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\frac{1}{4} \int 1 - \frac{3}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{4} (\int d y + \int - \frac{3}{y} d y) = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.4

Applica la regola costante.

$\frac{1}{4} (y + C_{1} + \int - \frac{3}{y} d y) = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} (y + C_{1} - \int \frac{3}{y} d y) = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.6

Poiché $3$ è costante rispetto a $y$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} (y + C_{1} - (3 \int \frac{1}{y} d y)) = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.7

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{1}{4} (y + C_{1} - 3 \int \frac{1}{y} d y) = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.8

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$\frac{1}{4} (y + C_{1} - 3 (\ln (| y |) + C_{2})) = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.9

Semplifica.

$\frac{1}{4} (y - 3 \ln (| y |)) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{4} (y - 3 \ln (| y |)) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\frac{1}{4} (y - 3 \ln (| y |)) = \ln (| x |) + C$