Calcolo Esempi

$(x y - 1) d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = x y - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y - 1]$

Passaggio 1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x y - 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x y$ rispetto a $y$ è $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 0$

Passaggio 1.4.2

Somma $x$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = x^{2} - x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} - x y]$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - x y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [- x y]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x y$ rispetto a $x$ è $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - y \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - y \cdot 1$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - y$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $x$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2 x - y$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$x = 2 x - y$

Passaggio 3.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$x = 2 x - y$ non è un'identità.

Passaggio 4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $x$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{x - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Passaggio 4.2

Sostituisci $2 x - y$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{x - (2 x - y)}{N}$

Passaggio 4.3

Sostituisci $x^{2} - x y$ a $N$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $x^{2} - x y$ a $N$ .

$\frac{x - (2 x - y)}{x^{2} - x y}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x - (2 x) - - y}{x^{2} - x y}$

Passaggio 4.3.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{x - 2 x - - y}{x^{2} - x y}$

Passaggio 4.3.2.3

Moltiplica $- - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{x - 2 x + 1 y}{x^{2} - x y}$

Passaggio 4.3.2.3.2

Moltiplica $y$ per $1$ .

$\frac{x - 2 x + y}{x^{2} - x y}$

Passaggio 4.3.2.4

Sottrai $2 x$ da $x$ .

$\frac{- x + y}{x^{2} - x y}$

Passaggio 4.3.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Scomponi $x$ da $x^{2} - x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{- x + y}{x \cdot x - x y}$

Passaggio 4.3.3.1.2

Scomponi $x$ da $- x y$ .

$\frac{- x + y}{x \cdot x + x (- 1 y)}$

Passaggio 4.3.3.1.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x (- 1 y)$ .

$\frac{- x + y}{x (x - 1 y)}$

Passaggio 4.3.3.2

Riscrivi $- 1 y$ come $- y$ .

$\frac{- x + y}{x (x - y)}$

Passaggio 4.3.4

Elimina il fattore comune di $- x + y$ e $x - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{- (x) + y}{x (x - y)}$

Passaggio 4.3.4.2

Scomponi $- 1$ da $y$ .

$\frac{- (x) - 1 (- y)}{x (x - y)}$

Passaggio 4.3.4.3

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (- y)$ .

$\frac{- (x - y)}{x (x - y)}$

Passaggio 4.3.4.4

Riscrivi $- (x - y)$ come $- 1 (x - y)$ .

$\frac{- 1 (x - y)}{x (x - y)}$

Passaggio 4.3.4.5

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1 (x - y)}{x (x - y)}$

Passaggio 4.3.4.6

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{x}$

Passaggio 4.3.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{x}$

Passaggio 4.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 5

Valuta l'integrale $e^{\int - \frac{1}{x} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 5.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x |)} + C$

Passaggio 5.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Semplifica $- \ln (| x |)$ spostando $- 1$ all'interno del logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 1})} + C$

Passaggio 5.4.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 1} + C$

Passaggio 5.4.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| x |} + C$

Passaggio 6

Moltiplica entrambi i lati di $(x y - 1) d x + (x^{2} - x y) d y = 0$ per il fattore di integrazione $\frac{1}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $x y - 1$ per $\frac{1}{x}$ .

$(x y - 1) \frac{1}{x} d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

Passaggio 6.2

Moltiplica $x y - 1$ per $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x y - 1}{x} d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

Passaggio 6.3

Moltiplica $x^{2} - x y$ per $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x y - 1}{x} d x + (x^{2} - x y) \frac{1}{x} d y = 0$

Passaggio 6.4

Moltiplica $x^{2} - x y$ per $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x y - 1}{x} d x + \frac{x^{2} - x y}{x} d y = 0$

Passaggio 6.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Scomponi $x$ da $x^{2} - x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{x y - 1}{x} d x + \frac{x \cdot x - x y}{x} d y = 0$

Passaggio 6.5.1.2

Scomponi $x$ da $- x y$ .

$\frac{x y - 1}{x} d x + \frac{x \cdot x + x (- 1 y)}{x} d y = 0$

Passaggio 6.5.1.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x (- 1 y)$ .

$\frac{x y - 1}{x} d x + \frac{x (x - 1 y)}{x} d y = 0$

Passaggio 6.5.2

Riscrivi $- 1 y$ come $- y$ .

$\frac{x y - 1}{x} d x + \frac{x (x - y)}{x} d y = 0$

Passaggio 6.6

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y - 1}{x} d x + \frac{x (x - y)}{x} d y = 0$

Passaggio 6.6.2

Dividi $x - y$ per $1$ .

$\frac{x y - 1}{x} d x + (x - y) d y = 0$

Passaggio 7

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x - y d y$

Passaggio 8

Integra $N (x, y) = x - y$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$f (x, y) = \int x d y + \int - y d y$

Passaggio 8.2

Applica la regola costante.

$f (x, y) = x y + C + \int - y d y$

Passaggio 8.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = x y + C - \int y d y$

Passaggio 8.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x y + C - (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Passaggio 8.5

Semplifica.

$f (x, y) = x y - \frac{1}{2} y^{2} + C$

Passaggio 9

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = x y - \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$

Passaggio 10

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x y - 1}{x}$

Passaggio 11

Trova $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [x y - \frac{1}{2} y^{2} + g (x)] = \frac{x y - 1}{x}$

Passaggio 11.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x y - \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y - 1}{x}$

Passaggio 11.3

Calcola $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $x y$ rispetto a $x$ è $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y - 1}{x}$

Passaggio 11.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y - 1}{x}$

Passaggio 11.3.3

Moltiplica $y$ per $1$ .

$y + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y - 1}{x}$

Passaggio 11.4

Poiché $- \frac{1}{2} y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{1}{2} y^{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$y + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y - 1}{x}$

Passaggio 11.5

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (x)$ è $\frac{d g}{d x}$ .

$y + 0 + \frac{d g}{d x} = \frac{x y - 1}{x}$

Passaggio 11.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.6.1

Somma $y$ e $0$ .

$y + \frac{d g}{d x} = \frac{x y - 1}{x}$

Passaggio 11.6.2

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d x} + y = \frac{x y - 1}{x}$

Passaggio 12

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Sottrai $y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} = \frac{x y - 1}{x} - y$

Passaggio 12.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.2.1

Dividi la frazione $\frac{x y - 1}{x}$ in due frazioni.

$\frac{d g}{d x} = \frac{x y}{x} + \frac{- 1}{x} - y$

Passaggio 12.1.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d g}{d x} = \frac{x y}{x} + \frac{- 1}{x} - y$

Passaggio 12.1.2.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$\frac{d g}{d x} = y + \frac{- 1}{x} - y$

Passaggio 12.1.2.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d g}{d x} = y - \frac{1}{x} - y$

Passaggio 12.1.3

Combina i termini opposti in $y - \frac{1}{x} - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.3.1

Sottrai $y$ da $y$ .

$\frac{d g}{d x} = - \frac{1}{x} + 0$

Passaggio 12.1.3.2

Somma $- \frac{1}{x}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - \frac{1}{x}$

Passaggio 13

Trova l'antiderivata di $- \frac{1}{x}$ per trovare $g (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d x} = - \frac{1}{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 13.2

Calcola $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 13.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$g (x) = - \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 13.4

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$g (x) = - (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 13.5

Semplifica.

$g (x) = - \ln (| x |) + C$

Passaggio 14

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = x y - \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = x y - \frac{1}{2} y^{2} - \ln (| x |) + C$

Passaggio 15

$y^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x y - \frac{y^{2}}{2} - \ln (| x |) + C$