Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x + 2}{y^{2} - 1}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $y^{2} - 1$ .

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} - 1) \frac{3 x + 2}{y^{2} - 1}$

Passaggio 1.2

Semplifica.

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Passaggio 1.2.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 1.2.1.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} - 1) \frac{3 x + 2}{y^{2} - 1^{2}}$

Passaggio 1.2.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = y$ e $b = 1$ .

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} - 1) \frac{3 x + 2}{(y + 1) (y - 1)}$

Passaggio 1.2.2

Moltiplica $y^{2} - 1$ per $\frac{3 x + 2}{(y + 1) (y - 1)}$ .

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y^{2} - 1) (3 x + 2)}{(y + 1) (y - 1)}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.2.3.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y^{2} - 1^{2}) (3 x + 2)}{(y + 1) (y - 1)}$

Passaggio 1.2.3.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = y$ e $b = 1$ .

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) (y - 1) (3 x + 2)}{(y + 1) (y - 1)}$

Passaggio 1.2.4

Elimina il fattore comune di $y + 1$ .

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Passaggio 1.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) (y - 1) (3 x + 2)}{(y + 1) (y - 1)}$

Passaggio 1.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y - 1) (3 x + 2)}{y - 1}$

Passaggio 1.2.5

Elimina il fattore comune di $y - 1$ .

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Passaggio 1.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y - 1) (3 x + 2)}{y - 1}$

Passaggio 1.2.5.2

Dividi $3 x + 2$ per $1$ .

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = 3 x + 2$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$(y^{2} - 1) d y = (3 x + 2) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y^{2} - 1 d y = \int 3 x + 2 d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int y^{2} d y + \int - 1 d y = \int 3 x + 2 d x$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + \int - 1 d y = \int 3 x + 2 d x$

Passaggio 2.2.3

Applica la regola costante.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} - y + C_{2} = \int 3 x + 2 d x$

Passaggio 2.2.4

Semplifica.

$\frac{1}{3} y^{3} - y + C_{3} = \int 3 x + 2 d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{3} y^{3} - y + C_{3} = \int 3 x d x + \int 2 d x$

Passaggio 2.3.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} y^{3} - y + C_{3} = 3 \int x d x + \int 2 d x$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} - y + C_{3} = 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int 2 d x$

Passaggio 2.3.4

Applica la regola costante.

$\frac{1}{3} y^{3} - y + C_{3} = 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + 2 x + C_{5}$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

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Passaggio 2.3.5.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} - y + C_{3} = 3 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + 2 x + C_{5}$

Passaggio 2.3.5.2

Semplifica.

$\frac{1}{3} y^{3} - y + C_{3} = \frac{3 x^{2}}{2} + 2 x + C_{6}$

Passaggio 2.3.5.3

Riordina i termini.

$\frac{1}{3} y^{3} - y + C_{3} = \frac{3}{2} x^{2} + 2 x + C_{6}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} - y = \frac{3}{2} x^{2} + 2 x + K$