Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d t} + y = e^{- t}$

Passaggio 1

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (t) d t}$ , dove $P (t) = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int d t}$

Passaggio 1.2

Applica la regola costante.

$e^{t + C}$

Passaggio 1.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{t}$

Passaggio 2

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine per $e^{t}$ .

$e^{t} \frac{d y}{d t} + e^{t} y = e^{t} e^{- t}$

Passaggio 2.2

Moltiplica $e^{t}$ per $e^{- t}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$e^{t} \frac{d y}{d t} + e^{t} y = e^{t - t}$

Passaggio 2.2.2

Sottrai $t$ da $t$ .

$e^{t} \frac{d y}{d t} + e^{t} y = e^{0}$

Passaggio 2.3

Semplifica $e^{0}$ .

$e^{t} \frac{d y}{d t} + e^{t} y = 1$

Passaggio 2.4

Riordina i fattori in $e^{t} \frac{d y}{d t} + e^{t} y = 1$ .

$e^{t} \frac{d y}{d t} + y e^{t} = 1$

Passaggio 3

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d t} [e^{t} y] = 1$

Passaggio 4

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d t} [e^{t} y] d t = \int d t$

Passaggio 5

Integra il lato sinistro.

$e^{t} y = \int d t$

Passaggio 6

Applica la regola costante.

$e^{t} y = t + C$

Passaggio 7

Dividi per $e^{t}$ ciascun termine in $e^{t} y = t + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Dividi per $e^{t}$ ciascun termine in $e^{t} y = t + C$ .

$\frac{e^{t} y}{e^{t}} = \frac{t}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{t} y}{e^{t}} = \frac{t}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Passaggio 7.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{t}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$