Calcolo Esempi

$x^{2} d y + (x y + x^{2}) d x = 0$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale per adattarla alla tecnica di equazione differenziale esatta.

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Passaggio 1.1

Riscrivi.

$(x y + x^{2}) d x + x^{2} d y = 0$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = x y + x^{2}$ .

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Passaggio 2.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y + x^{2}]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x y + x^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d y} [x y]$ .

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Passaggio 2.3.1

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x y$ rispetto a $y$ è $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 2.4.1

Poiché $x^{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x^{2}$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $x$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

Passaggio 3

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = x^{2}$ .

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Passaggio 3.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x$

Passaggio 4

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Passaggio 4.1

Sostituisci $x$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2 x$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$x = 2 x$

Passaggio 4.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$x = 2 x$ non è un'identità.

Passaggio 5

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Passaggio 5.1

Sostituisci $x$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{x - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Passaggio 5.2

Sostituisci $2 x$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{x - (2 x)}{N}$

Passaggio 5.3

Sostituisci $x^{2}$ a $N$ .

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Passaggio 5.3.1

Sostituisci $x^{2}$ a $N$ .

$\frac{x - (2 x)}{x^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.3.2.1

Scomponi $x$ da $x - 1 \cdot 2 x$ .

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Passaggio 5.3.2.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{1} - 1 \cdot 2 x}{x^{2}}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot 1 - 1 \cdot 2 x}{x^{2}}$

Passaggio 5.3.2.1.3

Scomponi $x$ da $- 1 \cdot 2 x$ .

$\frac{x \cdot 1 + x (- 1 \cdot 2)}{x^{2}}$

Passaggio 5.3.2.1.4

Scomponi $x$ da $x \cdot 1 + x (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{x (1 - 1 \cdot 2)}{x^{2}}$

Passaggio 5.3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{x (1 - 2)}{x^{2}}$

Passaggio 5.3.2.3

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{x \cdot - 1}{x^{2}}$

Passaggio 5.3.3

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{2}$ .

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Passaggio 5.3.3.1

Scomponi $x$ da $x \cdot - 1$ .

$\frac{x (- 1)}{x^{2}}$

Passaggio 5.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.3.3.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{x (- 1)}{x \cdot x}$

Passaggio 5.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \cdot - 1}{x \cdot x}$

Passaggio 5.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{x}$

Passaggio 5.3.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{x}$

Passaggio 5.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 6

Valuta l'integrale $e^{\int - \frac{1}{x} d x}$ .

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Passaggio 6.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 6.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Passaggio 6.3

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x |)} + C$

Passaggio 6.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.4.1

Semplifica $- \ln (| x |)$ spostando $- 1$ all'interno del logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 1})} + C$

Passaggio 6.4.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 1} + C$

Passaggio 6.4.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| x |} + C$

Passaggio 7

Moltiplica entrambi i lati di $(x y + x^{2}) d x + x^{2} d y = 0$ per il fattore di integrazione $\frac{1}{x}$ .

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Passaggio 7.1

Moltiplica $x y + x^{2}$ per $\frac{1}{x}$ .

$(x y + x^{2}) \frac{1}{x} d x + x^{2} d y = 0$

Passaggio 7.2

Moltiplica $x y + x^{2}$ per $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x y + x^{2}}{x} d x + x^{2} d y = 0$

Passaggio 7.3

Scomponi $x$ da $x y + x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Scomponi $x$ da $x y$ .

$\frac{x (y) + x^{2}}{x} d x + x^{2} d y = 0$

Passaggio 7.3.2

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{x (y) + x \cdot x}{x} d x + x^{2} d y = 0$

Passaggio 7.3.3

Scomponi $x$ da $x (y) + x \cdot x$ .

$\frac{x (y + x)}{x} d x + x^{2} d y = 0$

Passaggio 7.4

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 7.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (y + x)}{x} d x + x^{2} d y = 0$

Passaggio 7.4.2

Dividi $y + x$ per $1$ .

$(y + x) d x + x^{2} d y = 0$

Passaggio 7.5

Moltiplica $x^{2}$ per $\frac{1}{x}$ .

$(y + x) d x + x^{2} \frac{1}{x} d y = 0$

Passaggio 7.6

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 7.6.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$(y + x) d x + x \cdot x \frac{1}{x} d y = 0$

Passaggio 7.6.2

Elimina il fattore comune.

$(y + x) d x + x \cdot x \frac{1}{x} d y = 0$

Passaggio 7.6.3

Riscrivi l'espressione.

$(y + x) d x + x d y = 0$

Passaggio 8

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x d y$

Passaggio 9

Integra $N (x, y) = x$ per trovare $f (x, y)$ .

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Passaggio 9.1

Applica la regola costante.

$f (x, y) = x y + C$

Passaggio 10

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = x y + g (x)$

Passaggio 11

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y + x$

Passaggio 12

Trova $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Passaggio 12.1

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [x y + g (x)] = y + x$

Passaggio 12.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x y + g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y + x$

Passaggio 12.3

Calcola $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $x y$ rispetto a $x$ è $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y + x$

Passaggio 12.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y + x$

Passaggio 12.3.3

Moltiplica $y$ per $1$ .

$y + \frac{d}{d x} [g (x)] = y + x$

Passaggio 12.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (x)$ è $\frac{d g}{d x}$ .

$y + \frac{d g}{d x} = y + x$

Passaggio 12.5

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d x} + y = y + x$

Passaggio 13

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

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Passaggio 13.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 13.1.1

Sottrai $y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} = y + x - y$

Passaggio 13.1.2

Combina i termini opposti in $y + x - y$ .

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Passaggio 13.1.2.1

Sottrai $y$ da $y$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

Passaggio 13.1.2.2

Somma $x$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x$

Passaggio 14

Trova l'antiderivata di $x$ per trovare $g (x)$ .

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Passaggio 14.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d x} = x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

Passaggio 14.2

Calcola $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x d x$

Passaggio 14.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Passaggio 15

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = x y + g (x)$ .

$f (x, y) = x y + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Passaggio 16

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = x y + \frac{x^{2}}{2} + C$