Calcolo Esempi

$2 y d y = (x^{2} + 1) d x$

Passaggio 1

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 1.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int 2 y d y = \int x^{2} + 1 d x$

Passaggio 1.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int y d y = \int x^{2} + 1 d x$

Passaggio 1.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int x^{2} + 1 d x$

Passaggio 1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.2.3.1

Riscrivi $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ come $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int x^{2} + 1 d x$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int x^{2} + 1 d x$

Passaggio 1.2.3.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 1.2.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int x^{2} + 1 d x$

Passaggio 1.2.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 y^{2} + C_{1} = \int x^{2} + 1 d x$

Passaggio 1.2.3.2.3

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$y^{2} + C_{1} = \int x^{2} + 1 d x$

Passaggio 1.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 1.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y^{2} + C_{1} = \int x^{2} d x + \int d x$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int d x$

Passaggio 1.3.3

Applica la regola costante.

$y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + x + C_{3}$

Passaggio 1.3.4

Semplifica.

$y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + x + C_{4}$

Passaggio 1.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y^{2} = \frac{1}{3} x^{3} + x + K$

Passaggio 2

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{\frac{1}{3} x^{3} + x + K}$

Passaggio 2.2

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{3} x^{3} + x + K}$ .

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Passaggio 2.2.1

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3}}{3} + x + K}$

Passaggio 2.2.2

Per scrivere $x$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3}}{3} + x \cdot \frac{3}{3} + K}$

Passaggio 2.2.3

$x$ e $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3}}{3} + \frac{x \cdot 3}{3} + K}$

Passaggio 2.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3} + x \cdot 3}{3} + K}$

Passaggio 2.2.5

Scomponi $x$ da $x^{3} + x \cdot 3$ .

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Passaggio 2.2.5.1

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot 3}{3} + K}$

Passaggio 2.2.5.2

Scomponi $x$ da $x \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x \cdot x^{2} + x (3)}{3} + K}$

Passaggio 2.2.5.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x^{2} + x (3)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x (x^{2} + 3)}{3} + K}$

Passaggio 2.2.6

Per scrivere $K$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x (x^{2} + 3)}{3} + K \cdot \frac{3}{3}}$

Passaggio 2.2.7

Semplifica i termini.

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Passaggio 2.2.7.1

$K$ e $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x (x^{2} + 3)}{3} + \frac{K \cdot 3}{3}}$

Passaggio 2.2.7.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt{\frac{x (x^{2} + 3) + K \cdot 3}{3}}$

Passaggio 2.2.8

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.2.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \pm \sqrt{\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot 3 + K \cdot 3}{3}}$

Passaggio 2.2.8.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.2.8.2.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

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Passaggio 2.2.8.2.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{1} x^{2} + x \cdot 3 + K \cdot 3}{3}}$

Passaggio 2.2.8.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{1 + 2} + x \cdot 3 + K \cdot 3}{3}}$

Passaggio 2.2.8.2.2

Somma $1$ e $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3} + x \cdot 3 + K \cdot 3}{3}}$

Passaggio 2.2.8.3

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3} + 3 \cdot x + K \cdot 3}{3}}$

Passaggio 2.2.8.4

Sposta $3$ alla sinistra di $K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3} + 3 x + 3 K}{3}}$

Passaggio 2.2.9

Riscrivi $\sqrt{\frac{x^{3} + 3 x + 3 K}{3}}$ come $\frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 2.2.10

Moltiplica $\frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K}}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 2.2.11

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 2.2.11.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K}}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 2.2.11.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Passaggio 2.2.11.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Passaggio 2.2.11.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Passaggio 2.2.11.5

Somma $1$ e $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 2.2.11.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

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Passaggio 2.2.11.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.2.11.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.2.11.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.2.11.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.2.11.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.2.11.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Passaggio 2.2.11.6.5

Calcola l'esponente.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 2.2.12

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x^{3} + 3 x + 3 K) \cdot 3}}{3}$

Passaggio 2.2.13

Riordina i fattori in $\pm \frac{\sqrt{(x^{3} + 3 x + 3 K) \cdot 3}}{3}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

Passaggio 2.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 2.3.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

Passaggio 2.3.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

Passaggio 2.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

Passaggio 3

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + K)}}{3}$