Calcolo Esempi

$(y - x + x y \cot (x)) d x + x d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = y - x + x y \cot (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y - x + x y \cot (x)]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $y - x + x y \cot (x)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [x y \cot (x)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [x y \cot (x)]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [x y \cot (x)]$

Passaggio 1.2.3

Poiché $- x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- x$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 0 + \frac{d}{d y} [x y \cot (x)]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [x y \cot (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $x \cot (x)$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x y \cot (x)$ rispetto a $y$ è $x \cot (x) \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 0 + x \cot (x) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 0 + x \cot (x) \cdot 1$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 0 + x \cot (x)$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + x \cot (x)$

Passaggio 1.4.2

Riordina i termini.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cot (x) + 1$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $x \cot (x) + 1$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $1$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$x \cot (x) + 1 = 1$

Passaggio 3.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$x \cot (x) + 1 = 1$ non è un'identità.

Passaggio 4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $x \cot (x) + 1$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{x \cot (x) + 1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Passaggio 4.2

Sostituisci $1$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{x \cot (x) + 1 - 1}{N}$

Passaggio 4.3

Sostituisci $x$ a $N$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $x$ a $N$ .

$\frac{x \cot (x) + 1 - 1}{x}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{x \cot (x) + 0}{x}$

Passaggio 4.3.2.2

Somma $x \cot (x)$ e $0$ .

$\frac{x \cot (x)}{x}$

Passaggio 4.3.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \cot (x)}{x}$

Passaggio 4.3.3.2

Dividi $\cot (x)$ per $1$ .

$\cot (x)$

Passaggio 4.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \cot (x) d x}$

Passaggio 5

Valuta l'integrale $e^{\int \cot (x) d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

L'integrale di $\cot (x)$ rispetto a $x$ è $\ln (| \sin (x) |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| \sin (x) |) + C}$

Passaggio 5.2

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{\ln (| \sin (x) |)} + C$

Passaggio 5.2.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$μ (x, y) = | \sin (x) | + C$

Passaggio 6

Moltiplica entrambi i lati di $(y - x + x y \cot (x)) d x + x d y = 0$ per il fattore di integrazione $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $y - x + x y \cot (x)$ per $\sin (x)$ .

$(y - x + x y \cot (x)) \sin (x) d x + x d y = 0$

Passaggio 6.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Riscrivi $\cot (x)$ in termini di seno e coseno.

$(y - x + x y \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) \sin (x) d x + x d y = 0$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $x y \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

$x$ e $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$(y - x + y \frac{x \cos (x)}{\sin (x)}) \sin (x) d x + x d y = 0$

Passaggio 6.2.2.2

$y$ e $\frac{x \cos (x)}{\sin (x)}$ .

$(y - x + \frac{y (x \cos (x))}{\sin (x)}) \sin (x) d x + x d y = 0$

$(y - x + \frac{y x \cos (x)}{\sin (x)}) \sin (x) d x + x d y = 0$

Passaggio 6.3

Applica la proprietà distributiva.

$(y \sin (x) - x \sin (x) + \frac{y x \cos (x)}{\sin (x)} \sin (x)) d x + x d y = 0$

Passaggio 6.4

Elimina il fattore comune di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Elimina il fattore comune.

$(y \sin (x) - x \sin (x) + \frac{y x \cos (x)}{\sin (x)} \sin (x)) d x + x d y = 0$

Passaggio 6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$(y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)) d x + x d y = 0$

Passaggio 6.5

Moltiplica $x$ per $\sin (x)$ .

$(y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)) d x + x \sin (x) d y = 0$

Passaggio 7

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x \sin (x) d y$

Passaggio 8

Integra $N (x, y) = x \sin (x)$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Applica la regola costante.

$f (x, y) = x \sin (x) y + C$

Passaggio 9

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = x \sin (x) y + g (x)$

Passaggio 10

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

Passaggio 11

Trova $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [x \sin (x) y + g (x)] = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

Passaggio 11.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x \sin (x) y + g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x \sin (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x \sin (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

Passaggio 11.3

Calcola $\frac{d}{d x} [x \sin (x) y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $x \sin (x) y$ rispetto a $x$ è $y \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

$y \frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

Passaggio 11.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$y (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

Passaggio 11.3.3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

Passaggio 11.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

Passaggio 11.3.5

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

Passaggio 11.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (x)$ è $\frac{d g}{d x}$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x)) + \frac{d g}{d x} = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

Passaggio 11.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$y (x \cos (x)) + y \sin (x) + \frac{d g}{d x} = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

Passaggio 11.5.2

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d x} + x y \cos (x) + y \sin (x) = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

Passaggio 12

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Sottrai $x y \cos (x)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} + y \sin (x) = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x) - x y \cos (x)$

Passaggio 12.1.2

Sottrai $y \sin (x)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x) - x y \cos (x) - y \sin (x)$

Passaggio 12.1.3

Combina i termini opposti in $y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x) - x y \cos (x) - y \sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.3.1

Riordina i fattori nei termini di $y x \cos (x)$ e $- x y \cos (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = y \sin (x) - x \sin (x) + x y \cos (x) - x y \cos (x) - y \sin (x)$

Passaggio 12.1.3.2

Sottrai $x y \cos (x)$ da $x y \cos (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = y \sin (x) - x \sin (x) + 0 - y \sin (x)$

Passaggio 12.1.3.3

Somma $y \sin (x) - x \sin (x)$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = y \sin (x) - x \sin (x) - y \sin (x)$

Passaggio 12.1.3.4

Sottrai $y \sin (x)$ da $y \sin (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = - x \sin (x) + 0$

Passaggio 12.1.3.5

Somma $- x \sin (x)$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - x \sin (x)$

Passaggio 13

Trova l'antiderivata di $- x \sin (x)$ per trovare $g (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d x} = - x \sin (x)$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x \sin (x) d x$

Passaggio 13.2

Calcola $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - x \sin (x) d x$

Passaggio 13.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$g (x) = - \int x \sin (x) d x$

Passaggio 13.4

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = \sin (x)$ .

$g (x) = - (x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x)$

Passaggio 13.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$g (x) = - (x (- \cos (x)) - - \int \cos (x) d x)$

Passaggio 13.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.6.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$g (x) = - (x (- \cos (x)) + 1 \int \cos (x) d x)$

Passaggio 13.6.2

Moltiplica $\int \cos (x) d x$ per $1$ .

$g (x) = - (x (- \cos (x)) + \int \cos (x) d x)$

Passaggio 13.7

L'integrale di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $\sin (x)$ .

$g (x) = - (x (- \cos (x)) + \sin (x) + C)$

Passaggio 13.8

Riscrivi $- (x (- \cos (x)) + \sin (x) + C)$ come $- (- x \cos (x) + \sin (x)) + C$ .

$g (x) = - (- x \cos (x) + \sin (x)) + C$

Passaggio 14

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = x \sin (x) y + g (x)$ .

$f (x, y) = x \sin (x) y - (- x \cos (x) + \sin (x)) + C$

Passaggio 15

Semplifica $f (x, y) = x \sin (x) y - (- x \cos (x) + \sin (x)) + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (x, y) = x \sin (x) y - (- x \cos (x)) - \sin (x) + C$

Passaggio 15.1.2

Moltiplica $- (- x \cos (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (x, y) = x \sin (x) y + 1 (x \cos (x)) - \sin (x) + C$

Passaggio 15.1.2.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f (x, y) = x \sin (x) y + x \cos (x) - \sin (x) + C$

Passaggio 15.2

Riordina i fattori in $f (x, y) = x \sin (x) y + x \cos (x) - \sin (x) + C$ .

$f (x, y) = x y \sin (x) + x \cos (x) - \sin (x) + C$