Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 1}{y - 1}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $y - 1$ .

$(y - 1) \frac{d y}{d x} = (y - 1) \frac{x + 1}{y - 1}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $y - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$(y - 1) \frac{d y}{d x} = (y - 1) \frac{x + 1}{y - 1}$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$(y - 1) \frac{d y}{d x} = x + 1$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$(y - 1) d y = (x + 1) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y - 1 d y = \int x + 1 d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int y d y + \int - 1 d y = \int x + 1 d x$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int - 1 d y = \int x + 1 d x$

Passaggio 2.2.3

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - y + C_{2} = \int x + 1 d x$

Passaggio 2.2.4

Semplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} - y + C_{3} = \int x + 1 d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{2} y^{2} - y + C_{3} = \int x d x + \int d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \int d x$

Passaggio 2.3.3

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} y^{2} - y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + x + C_{5}$

Passaggio 2.3.4

Semplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} - y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + x + C_{6}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - y = \frac{1}{2} x^{2} + x + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} - y = \frac{1}{2} x^{2} + x + K$

Passaggio 3.2

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} - y = \frac{x^{2}}{2} + x + K$

Passaggio 3.3

Sposta tutte le espressioni sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 3.3.1

Sottrai $\frac{x^{2}}{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{y^{2}}{2} - y - \frac{x^{2}}{2} = x + K$

Passaggio 3.3.2

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{y^{2}}{2} - y - \frac{x^{2}}{2} - x = K$

Passaggio 3.3.3

Sottrai $K$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{y^{2}}{2} - y - \frac{x^{2}}{2} - x - K = 0$

Passaggio 3.4

Moltiplica per il minimo comune denominatore $2$ , quindi semplifica.

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Passaggio 3.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- y) + 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

Passaggio 3.4.2

Semplifica.

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Passaggio 3.4.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- y) + 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

Passaggio 3.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} + 2 (- y) + 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

Passaggio 3.4.2.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$y^{2} - 2 y + 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

Passaggio 3.4.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.4.2.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{x^{2}}{2}$ nel numeratore.

$y^{2} - 2 y + 2 (\frac{- x^{2}}{2}) + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

Passaggio 3.4.2.3.2

Elimina il fattore comune.

$y^{2} - 2 y + 2 (\frac{- x^{2}}{2}) + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

Passaggio 3.4.2.3.3

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} - 2 y - x^{2} + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

Passaggio 3.4.2.4

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$y^{2} - 2 y - x^{2} - 2 x + 2 (- K) = 0$

Passaggio 3.4.2.5

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$y^{2} - 2 y - x^{2} - 2 x - 2 K = 0$

Passaggio 3.4.3

Sposta $- 2 y$ .

$y^{2} - x^{2} - 2 x - 2 K - 2 y = 0$

Passaggio 3.4.4

Sposta $- 2 x$ .

$y^{2} - x^{2} - 2 K - 2 x - 2 y = 0$

Passaggio 3.4.5

Riordina $y^{2}$ e $- x^{2}$ .

$- x^{2} + y^{2} - 2 K - 2 x - 2 y = 0$

Passaggio 3.5

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.6

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 2$ e $c = - x^{2} - 2 K - 2 x$ nella formula quadratica e risolvi per $y$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x^{2} - 2 K - 2 x))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7

Semplifica.

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Passaggio 3.7.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.7.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (- x^{2} - 2 K - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- x^{2} - 2 K - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 (- x^{2}) - 4 (- 2 K) - 4 (- 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 x^{2} - 4 (- 2 K) - 4 (- 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.4.2

Moltiplica $- 2$ per $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 x^{2} + 8 K - 4 (- 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.4.3

Moltiplica $- 2$ per $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 x^{2} + 8 K + 8 x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.5

Scomponi $4$ da $4 + 4 x^{2} + 8 K + 8 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.5.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 x^{2} + 8 K + 8 x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.5.2

Scomponi $4$ da $8 K$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 x^{2} + 4 (2 K) + 8 x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.5.3

Scomponi $4$ da $8 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 x^{2} + 4 (2 K) + 4 (2 x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.5.4

Scomponi $4$ da $4 \cdot 1 + 4 x^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot (1 + x^{2}) + 4 (2 K) + 4 (2 x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.5.5

Scomponi $4$ da $4 \cdot (1 + x^{2}) + 4 (2 K)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot (1 + x^{2} + 2 K) + 4 (2 x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.5.6

Scomponi $4$ da $4 \cdot (1 + x^{2} + 2 K) + 4 (2 x)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1 + x^{2} + 2 K + 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.6

Riscrivi $4 (1 + x^{2} + 2 K + 2 x)$ come $2^{2} (1^{2} + x^{2} + 2 K + 2 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.6.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + x^{2} + 2 K + 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.6.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} + x^{2} + 2 K + 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.7

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1^{2} + x^{2} + 2 K + 2 x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.8

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x^{2} + 2 K + 2 x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x^{2} + 2 K + 2 x}}{2}$

Passaggio 3.7.3

Semplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x^{2} + 2 K + 2 x}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{1 + x^{2} + 2 K + 2 x}$

Passaggio 3.8

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$y = 1 + \sqrt{1 + x^{2} + 2 K + 2 x}$

$y = 1 - \sqrt{1 + x^{2} + 2 K + 2 x}$

$y = 1 + \sqrt{1 + x^{2} + 2 K + 2 x}$

$y = 1 - \sqrt{1 + x^{2} + 2 K + 2 x}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = 1 + \sqrt{1 + x^{2} + K + 2 x}$

$y = 1 - \sqrt{1 + x^{2} + K + 2 x}$