Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = y^{2} x^{4} - y^{2} + x^{4} - 1$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{d y}{d x} = (y^{2} x^{4} - y^{2}) + x^{4} - 1$

Passaggio 1.1.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{d y}{d x} = y^{2} (x^{4} - 1) + 1 (x^{4} - 1)$

Passaggio 1.1.2

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x^{4} - 1$ .

$\frac{d y}{d x} = (x^{4} - 1) (y^{2} + 1)$

Passaggio 1.1.3

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = ({(x^{2})}^{2} - 1) (y^{2} + 1)$

Passaggio 1.1.4

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = ({(x^{2})}^{2} - 1^{2}) (y^{2} + 1)$

Passaggio 1.1.5

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x^{2}$ e $b = 1$ .

$\frac{d y}{d x} = (x^{2} + 1) (x^{2} - 1) (y^{2} + 1)$

Passaggio 1.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = (x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2}) (y^{2} + 1)$

Passaggio 1.1.6.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.2.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{d y}{d x} = (x^{2} + 1) ((x + 1) (x - 1)) (y^{2} + 1)$

Passaggio 1.1.6.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$\frac{d y}{d x} = (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) (y^{2} + 1)$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} ((x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) (y^{2} + 1))$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Elimina il fattore comune di $y^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Scomponi $y^{2} + 1$ da $(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) (y^{2} + 1)$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} ((y^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)))$

Passaggio 1.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} ((y^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)))$

Passaggio 1.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)$

Passaggio 1.3.2

Espandi $(x^{2} + 1) (x + 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = (x^{2} (x + 1) + 1 (x + 1)) (x - 1)$

Passaggio 1.3.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = (x^{2} x + x^{2} \cdot 1 + 1 (x + 1)) (x - 1)$

Passaggio 1.3.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = (x^{2} x + x^{2} \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 1)$

Passaggio 1.3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = (x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 1)$

Passaggio 1.3.3.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 1)$

Passaggio 1.3.3.1.2

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = (x^{3} + x^{2} \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 1)$

Passaggio 1.3.3.2

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = (x^{3} + x^{2} + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 1)$

Passaggio 1.3.3.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = (x^{3} + x^{2} + x + 1 \cdot 1) (x - 1)$

Passaggio 1.3.3.4

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = (x^{3} + x^{2} + x + 1) (x - 1)$

Passaggio 1.3.4

Espandi $(x^{3} + x^{2} + x + 1) (x - 1)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{3} x + x^{3} \cdot - 1 + x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Passaggio 1.3.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1.1

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{3} x^{1} + x^{3} \cdot - 1 + x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Passaggio 1.3.5.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{3 + 1} + x^{3} \cdot - 1 + x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Passaggio 1.3.5.1.2

Somma $3$ e $1$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} + x^{3} \cdot - 1 + x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Passaggio 1.3.5.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x^{3}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - 1 \cdot x^{3} + x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Passaggio 1.3.5.3

Riscrivi $- 1 x^{3}$ come $- x^{3}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Passaggio 1.3.5.4

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.4.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.4.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Passaggio 1.3.5.4.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Passaggio 1.3.5.4.2

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x^{3} + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Passaggio 1.3.5.5

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x^{3} - 1 \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Passaggio 1.3.5.6

Riscrivi $- 1 x^{2}$ come $- x^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x^{3} - x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Passaggio 1.3.5.7

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x^{3} - x^{2} + x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Passaggio 1.3.5.8

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x^{3} - x^{2} + x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1$

Passaggio 1.3.5.9

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x^{3} - x^{2} + x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1$

Passaggio 1.3.5.10

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x^{3} - x^{2} + x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1$

Passaggio 1.3.5.11

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x^{3} - x^{2} + x^{2} - x + x - 1$

Passaggio 1.3.6

Combina i termini opposti in $x^{4} - x^{3} + x^{3} - x^{2} + x^{2} - x + x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.1

Somma $- x^{3}$ e $x^{3}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} + 0 - x^{2} + x^{2} - x + x - 1$

Passaggio 1.3.6.2

Somma $x^{4}$ e $0$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{2} + x^{2} - x + x - 1$

Passaggio 1.3.6.3

Somma $- x^{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} + 0 - x + x - 1$

Passaggio 1.3.6.4

Somma $x^{4}$ e $0$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x + x - 1$

Passaggio 1.3.6.5

Somma $- x$ e $x$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} + 0 - 1$

Passaggio 1.3.6.6

Somma $x^{4}$ e $0$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - 1$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = (x^{4} - 1) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int x^{4} - 1 d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Riordina $y^{2}$ e $1$ .

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int x^{4} - 1 d x$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int x^{4} - 1 d x$

Passaggio 2.2.2

L'integrale di $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ rispetto a $y$ è $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{4} - 1 d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{4} d x + \int - 1 d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{2} + \int - 1 d x$

Passaggio 2.3.3

Applica la regola costante.

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{2} - x + C_{3}$

Passaggio 2.3.4

Semplifica.

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} - x + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\arctan (y) = \frac{1}{5} x^{5} - x + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Trova l'arcotangente inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $y$ da dentro l'arcotangente.

$y = \tan (\frac{1}{5} x^{5} - x + K)$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

$\frac{1}{5}$ e $x^{5}$ .

$y = \tan (\frac{x^{5}}{5} - x + K)$