Calcolo Esempi

$d x - (y - 2 x y) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 1.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = - (y - 2 x y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (y - 2 x y)]$

Passaggio 2.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- (y - 2 x y)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [y - 2 x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [y - 2 x y]$

Passaggio 2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $y - 2 x y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 x y])$

Passaggio 2.4

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x y])$

Passaggio 2.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Passaggio 2.6

Poiché $- 2 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x y$ rispetto a $x$ è $- 2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (- 2 y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.7

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \cdot 1$

Passaggio 2.9

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $0$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2 y$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$0 = 2 y$

Passaggio 3.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$0 = 2 y$ non è un'identità.

Passaggio 4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $0$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{0 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Passaggio 4.2

Sostituisci $2 y$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{0 - (2 y)}{N}$

Passaggio 4.3

Sostituisci $- (y - 2 x y)$ a $N$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $- (y - 2 x y)$ a $N$ .

$\frac{0 - (2 y)}{- (y - 2 x y)}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{0 - 2 y}{- (y - 2 x y)}$

Passaggio 4.3.2.2

Sottrai $2 y$ da $0$ .

$\frac{- 2 y}{- (y - 2 x y)}$

Passaggio 4.3.3

Scomponi $y$ da $y - 2 x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 2 y}{- (y^{1} - 2 x y)}$

Passaggio 4.3.3.2

Scomponi $y$ da $y^{1}$ .

$\frac{- 2 y}{- (y \cdot 1 - 2 x y)}$

Passaggio 4.3.3.3

Scomponi $y$ da $- 2 x y$ .

$\frac{- 2 y}{- (y \cdot 1 + y (- 2 x))}$

Passaggio 4.3.3.4

Scomponi $y$ da $y \cdot 1 + y (- 2 x)$ .

$\frac{- 2 y}{- (y (1 - 2 x))}$

$\frac{- 2 y}{- y (1 - 2 x)}$

Passaggio 4.3.4

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 y}{- y (1 - 2 x)}$

Passaggio 4.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 2}{- 1 (1 - 2 x)}$

Passaggio 4.3.5

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{2}{1 - 2 x}$

Passaggio 4.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{2}{1 - 2 x} d x}$

Passaggio 5

Valuta l'integrale $e^{\int \frac{2}{1 - 2 x} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{1 - 2 x} d x}$

Passaggio 5.2

Sia $u = 1 - 2 x$ . Allora $d u = - 2 d x$ , quindi $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Sia $u = 1 - 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Differenzia $1 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Passaggio 5.2.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 5.2.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 5.2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Passaggio 5.2.1.3.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$0 - 2$

Passaggio 5.2.1.4

Sottrai $2$ da $0$ .

$- 2$

Passaggio 5.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u}$

Passaggio 5.3.2

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{2 \int - \frac{1}{u \cdot 2} d u}$

Passaggio 5.3.3

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$μ (x, y) = e^{2 \int - \frac{1}{2 u} d u}$

Passaggio 5.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{2 (- \int \frac{1}{2 u} d u)}$

Passaggio 5.5

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{2 u} d u}$

Passaggio 5.6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)}$

Passaggio 5.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1

$\frac{1}{2}$ e $- 2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Passaggio 5.7.2

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Passaggio 5.7.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u}$

Passaggio 5.7.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u}$

Passaggio 5.7.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$μ (x, y) = e^{\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u}$

Passaggio 5.7.2.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

Passaggio 5.8

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| u |) + C)}$

Passaggio 5.9

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| u |)} + C$

Passaggio 5.10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 - 2 x$ .

$μ (x, y) = e^{- \ln (| 1 - 2 x |)} + C$

Passaggio 5.11

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.11.1

Semplifica $- \ln (| 1 - 2 x |)$ spostando $- 1$ all'interno del logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| 1 - 2 x |}^{- 1})} + C$

Passaggio 5.11.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$μ (x, y) = {| 1 - 2 x |}^{- 1} + C$

Passaggio 5.11.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| 1 - 2 x |} + C$

Passaggio 6

Moltiplica $1$ per $\frac{1}{1 - 2 x}$ .

$d x - (y - 2 x y) d y = 0$

Passaggio 7

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - y d y$

Passaggio 8

Integra $N (x, y) = - y$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = - \int y d y$

Passaggio 8.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Passaggio 8.3

Riscrivi $- (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ come $- \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{2} y^{2} + C$

Passaggio 9

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$

Passaggio 10

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{1 - 2 x}$

Passaggio 11

Trova $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} + g (x)] = \frac{1}{1 - 2 x}$

Passaggio 11.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1}{1 - 2 x}$

Passaggio 11.3

Poiché $- \frac{1}{2} y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{1}{2} y^{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1}{1 - 2 x}$

Passaggio 11.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (x)$ è $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + \frac{d g}{d x} = \frac{1}{1 - 2 x}$

Passaggio 11.5

Somma $0$ e $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{1 - 2 x}$

Passaggio 12

Trova l'antiderivata di $\frac{1}{1 - 2 x}$ per trovare $g (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d x} = \frac{1}{1 - 2 x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{1 - 2 x} d x$

Passaggio 12.2

Calcola $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{1}{1 - 2 x} d x$

Passaggio 12.3

Sia $u = 1 - 2 x$ . Allora $d u = - 2 d x$ , quindi $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1

Sia $u = 1 - 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1.1

Differenzia $1 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Passaggio 12.3.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 12.3.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 12.3.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 12.3.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Passaggio 12.3.1.3.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$0 - 2$

Passaggio 12.3.1.4

Sottrai $2$ da $0$ .

$- 2$

Passaggio 12.3.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$g (x) = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Passaggio 12.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.4.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$g (x) = \int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Passaggio 12.4.2

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \int - \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Passaggio 12.4.3

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$g (x) = \int - \frac{1}{2 \cdot u} d u$

Passaggio 12.4.4

Moltiplica $2$ per $u$ .

$g (x) = \int - \frac{1}{2 u} d u$

Passaggio 12.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$g (x) = - \int \frac{1}{2 u} d u$

Passaggio 12.6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$g (x) = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 12.7

Rimuovi le parentesi.

$g (x) = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 12.8

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$g (x) = - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Passaggio 12.9

Semplifica.

$g (x) = - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Passaggio 12.10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 - 2 x$ .

$g (x) = - \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 x |) + C$

Passaggio 13

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = - \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 x |) + C$

Passaggio 14

Semplifica $f (x, y) = - \frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 x |) + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1

$y^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{2} - \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 x |) + C$

Passaggio 14.1.2

Moltiplica $- \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 x |)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.2.1

Riordina $\ln (| 1 - 2 x |)$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 x |)) + C$

Passaggio 14.1.2.2

Semplifica $\frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 x |)$ spostando $\frac{1}{2}$ all'interno del logaritmo.

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{2} - \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) + C$

Passaggio 14.2

Per scrivere $- \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}})$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{2} - \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) \cdot \frac{2}{2} + C$

Passaggio 14.3

$- \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}})$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{2} + \frac{- \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2}{2} + C$

Passaggio 14.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (x, y) = \frac{- y^{2} - \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2}{2} + C$

Passaggio 14.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.5.1

Moltiplica $- \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.5.1.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f (x, y) = \frac{- y^{2} - 2 \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}})}{2} + C$

Passaggio 14.5.1.2

Semplifica $- 2 \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}})$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$f (x, y) = \frac{- y^{2} - \ln ({({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}})}^{2})}{2} + C$

Passaggio 14.5.2

Moltiplica gli esponenti in ${({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.5.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = \frac{- y^{2} - \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{2} + C$

Passaggio 14.5.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.5.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$f (x, y) = \frac{- y^{2} - \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{2} + C$

Passaggio 14.5.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f (x, y) = \frac{- y^{2} - \ln ({| 1 - 2 x |}^{1})}{2} + C$

Passaggio 14.5.3

Semplifica.

$f (x, y) = \frac{- y^{2} - \ln (| 1 - 2 x |)}{2} + C$