Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} + y \cos (x) = 5 \cos (x)$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Sottrai $y \cos (x)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d x} = 5 \cos (x) - y \cos (x)$

Passaggio 1.2

Scomponi $\cos (x)$ da $5 \cos (x) - y \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi $\cos (x)$ da $5 \cos (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \cos (x) \cdot 5 - y \cos (x)$

Passaggio 1.2.2

Scomponi $\cos (x)$ da $- y \cos (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \cos (x) \cdot 5 + \cos (x) (- y)$

Passaggio 1.2.3

Scomponi $\cos (x)$ da $\cos (x) \cdot 5 + \cos (x) (- y)$ .

$\frac{d y}{d x} = \cos (x) (5 - y)$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{5 - y}$ .

$\frac{1}{5 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{5 - y} (\cos (x) (5 - y))$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $5 - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Scomponi $5 - y$ da $\cos (x) (5 - y)$ .

$\frac{1}{5 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{5 - y} ((5 - y) \cos (x))$

Passaggio 1.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{5 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{5 - y} ((5 - y) \cos (x))$

Passaggio 1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{5 - y} \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

Passaggio 1.5

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{5 - y} d y = \cos (x) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{5 - y} d y = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Sia $u = 5 - y$ . Allora $d u = - d y$ , quindi $- d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sia $u = 5 - y$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Riscrivi.

$\frac{- 1}{1}$

Passaggio 2.2.1.1.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.2.2

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.2.4

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.2.5

Semplifica.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.2.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 - y$ .

$- \ln (| 5 - y |) + C_{1} = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.3

L'integrale di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $\sin (x)$ .

$- \ln (| 5 - y |) + C_{1} = \sin (x) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$- \ln (| 5 - y |) = \sin (x) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \ln (| 5 - y |) = \sin (x) + C$ e semplifica.

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Passaggio 3.1.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \ln (| 5 - y |) = \sin (x) + C$ .

$\frac{- \ln (| 5 - y |)}{- 1} = \frac{\sin (x)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.1.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\ln (| 5 - y |)}{1} = \frac{\sin (x)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 3.1.2.2

Dividi $\ln (| 5 - y |)$ per $1$ .

$\ln (| 5 - y |) = \frac{\sin (x)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1.3.1.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\sin (x)}{- 1}$ .

$\ln (| 5 - y |) = - 1 \cdot \sin (x) + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 3.1.3.1.2

Riscrivi $- 1 \cdot \sin (x)$ come $- \sin (x)$ .

$\ln (| 5 - y |) = - \sin (x) + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 3.1.3.1.3

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| 5 - y |) = - \sin (x) - 1 \cdot C$

Passaggio 3.1.3.1.4

Riscrivi $- 1 \cdot C$ come $- C$ .

$\ln (| 5 - y |) = - \sin (x) - C$

Passaggio 3.2

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| 5 - y |)} = e^{- \sin (x) - C}$

Passaggio 3.3

Riscrivi $\ln (| 5 - y |) = - \sin (x) - C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \sin (x) - C} = | 5 - y |$

Passaggio 3.4

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'equazione come $| 5 - y | = e^{- \sin (x) - C}$ .

$| 5 - y | = e^{- \sin (x) - C}$

Passaggio 3.4.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$5 - y = \pm e^{- \sin (x) - C}$

Passaggio 3.4.3

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- y = \pm e^{- \sin (x) - C} - 5$

Passaggio 3.4.4

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y = \pm e^{- \sin (x) - C} - 5$ e semplifica.

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Passaggio 3.4.4.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y = \pm e^{- \sin (x) - C} - 5$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\pm e^{- \sin (x) - C}}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

Passaggio 3.4.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{\pm e^{- \sin (x) - C}}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

Passaggio 3.4.4.2.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- \sin (x) - C}}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

Passaggio 3.4.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.3.1.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\pm e^{- \sin (x) - C}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (\pm e^{- \sin (x) - C}) + \frac{- 5}{- 1}$

Passaggio 3.4.4.3.1.2

Riscrivi $- 1 \cdot (\pm e^{- \sin (x) - C})$ come $- (\pm e^{- \sin (x) - C})$ .

$y = - (\pm e^{- \sin (x) - C}) + \frac{- 5}{- 1}$

Passaggio 3.4.4.3.1.3

Dividi $- 5$ per $- 1$ .

$y = - (\pm e^{- \sin (x) - C}) + 5$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

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Passaggio 4.1

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = - (\pm e^{- \sin (x) + C}) + 5$

Passaggio 4.2

Riscrivi $e^{- \sin (x) + C}$ come $e^{- \sin (x)} e^{C}$ .

$y = - (\pm e^{- \sin (x)} e^{C}) + 5$

Passaggio 4.3

Riordina $e^{- \sin (x)}$ e $e^{C}$ .

$y = - (\pm e^{C} e^{- \sin (x)}) + 5$

Passaggio 4.4

Combina costanti con il più o il meno.

$y = - (C e^{- \sin (x)}) + 5$