Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \cos (4 x) - 2 x$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = (\cos (4 x) - 2 x) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int \cos (4 x) - 2 x d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int \cos (4 x) - 2 x d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{1} = \int \cos (4 x) d x + \int - 2 x d x$

Passaggio 2.3.2

Sia $u = 4 x$ . Allora $d u = 4 d x$ , quindi $\frac{1}{4} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Sia $u = 4 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.3.2.1.1

Differenzia $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 2.3.2.1.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Passaggio 2.3.2.1.4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = \int \cos (u) \frac{1}{4} d u + \int - 2 x d x$

Passaggio 2.3.3

$\cos (u)$ e $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\cos (u)}{4} d u + \int - 2 x d x$

Passaggio 2.3.4

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \int \cos (u) d u + \int - 2 x d x$

Passaggio 2.3.5

L'integrale di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $\sin (u)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\sin (u) + C_{2}) + \int - 2 x d x$

Passaggio 2.3.6

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\sin (u) + C_{2}) - 2 \int x d x$

Passaggio 2.3.7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\sin (u) + C_{2}) - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Passaggio 2.3.8

Semplifica.

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Passaggio 2.3.8.1

Semplifica.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (u) - 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.8.2

Semplifica.

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Passaggio 2.3.8.2.1

$- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (u) + \frac{- 2}{2} x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.8.2.2

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

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Passaggio 2.3.8.2.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (u) + \frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.8.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.3.8.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (u) + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.8.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (u) + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.8.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (u) + \frac{- 1}{1} x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.8.2.2.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (u) - x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (4 x) - x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.10

Riordina i termini.

$y + C_{1} = - x^{2} + \frac{1}{4} \sin (4 x) + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = - x^{2} + \frac{1}{4} \sin (4 x) + K$