Calcolo Esempi

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \ln (x)$ , $y (1) = 2$

Passaggio 1

Verifica se il lato sinistro dell'equazione sia il risultato della derivata del termine $x^{2} y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} y' + y (2 x)$

Passaggio 1.4

Sostituisci $\frac{d y}{d x}$ a $y'$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

Passaggio 1.5

Rimuovi le parentesi.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + y \cdot 2 x$

Passaggio 1.6

Sposta $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y$

Passaggio 2

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = \ln (x)$

Passaggio 3

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int \ln (x) d x$

Passaggio 4

Integra il lato sinistro.

$x^{2} y = \int \ln (x) d x$

Passaggio 5

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \ln (x)$ e $d v = 1$ .

$x^{2} y = \ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x$

Passaggio 5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

$x$ e $\frac{1}{x}$ .

$x^{2} y = \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

Passaggio 5.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{2} y = \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

Passaggio 5.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} y = \ln (x) x - \int d x$

Passaggio 5.3

Applica la regola costante.

$x^{2} y = \ln (x) x - (x + C)$

Passaggio 5.4

Semplifica.

$x^{2} y = \ln (x) x - x + C$

Passaggio 6

Dividi per $x^{2}$ ciascun termine in $x^{2} y = \ln (x) x - x + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Dividi per $x^{2}$ ciascun termine in $x^{2} y = \ln (x) x - x + C$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\ln (x) x}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\ln (x) x}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 6.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\ln (x) x}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 6.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1.1

Scomponi $x$ da $\ln (x) x$ .

$y = \frac{x \ln (x)}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 6.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$y = \frac{x \ln (x)}{x \cdot x} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 6.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{x \ln (x)}{x \cdot x} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 6.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{\ln (x)}{x} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 6.3.1.2

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.2.1

Scomponi $x$ da $- x$ .

$y = \frac{\ln (x)}{x} + \frac{x \cdot - 1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 6.3.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.2.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$y = \frac{\ln (x)}{x} + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 6.3.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{\ln (x)}{x} + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 6.3.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{\ln (x)}{x} + \frac{- 1}{x} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 6.3.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 7

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $C$ sostituendo $x$ con $1$ e $y$ con $2$ in $y = \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + \frac{C}{x^{2}}$ .

$2 = \frac{\ln (1)}{1} - \frac{1}{1} + \frac{C}{1^{2}}$

Passaggio 8

Risolvi per $C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{\ln (1)}{1} - \frac{1}{1} + \frac{C}{1^{2}} = 2$ .

$\frac{\ln (1)}{1} - \frac{1}{1} + \frac{C}{1^{2}} = 2$

Passaggio 8.2

Semplifica $\frac{\ln (1)}{1} - \frac{1}{1} + \frac{C}{1^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\ln (1) - 1}{1} + \frac{C}{1^{2}} = 2$

Passaggio 8.2.2

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$\frac{0 - 1}{1} + \frac{C}{1^{2}} = 2$

Passaggio 8.2.3

Sottrai $1$ da $0$ .

$\frac{- 1}{1} + \frac{C}{1^{2}} = 2$

Passaggio 8.2.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 8.2.4.1

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- 1 + \frac{C}{1^{2}} = 2$

Passaggio 8.2.4.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- 1 + \frac{C}{1} = 2$

Passaggio 8.2.4.3

Dividi $C$ per $1$ .

$- 1 + C = 2$

Passaggio 8.3

Sposta tutti i termini non contenenti $C$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$C = 2 + 1$

Passaggio 8.3.2

Somma $2$ e $1$ .

$C = 3$

Passaggio 9

Sostituisci $3$ a $C$ in $y = \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + \frac{C}{x^{2}}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sostituisci $3$ a $C$ .

$y = \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + \frac{3}{x^{2}}$