Calcolo Esempi

$x \cos^{2} (y) d x + \tan (y) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = x \cos^{2} (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x \cos^{2} (y)]$

Passaggio 1.2

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x \cos^{2} (y)$ rispetto a $y$ è $x \frac{d}{d y} [\cos^{2} (y)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [\cos^{2} (y)]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = y^{2}$ e $g (y) = \cos (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [\cos (y)])$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (2 u \frac{d}{d y} [\cos (y)])$

Passaggio 1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (2 \cos (y) \frac{d}{d y} [\cos (y)])$

Passaggio 1.4

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \cdot x \cos (y) \frac{d}{d y} [\cos (y)]$

Passaggio 1.5

La derivata di $\cos (y)$ rispetto a $y$ è $- \sin (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cos (y) (- \sin (y))$

Passaggio 1.6

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x \cos (y) \sin (y)$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = \tan (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\tan (y)]$

Passaggio 2.2

Poiché $\tan (y)$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\tan (y)$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $- 2 x \cos (y) \sin (y)$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $0$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$- 2 x \cos (y) \sin (y) = 0$

Passaggio 3.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$- 2 x \cos (y) \sin (y) = 0$ non è un'identità.

Passaggio 4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $0$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Passaggio 4.2

Sostituisci $- 2 x \cos (y) \sin (y)$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{0 - (- 2 x \cos (y) \sin (y))}{M}$

Passaggio 4.3

Sostituisci $x \cos^{2} (y)$ a $M$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $x \cos^{2} (y)$ a $M$ .

$\frac{0 - (- 2 x \cos (y) \sin (y))}{x \cos^{2} (y)}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$\frac{0 + 2 (x \cos (y) \sin (y))}{x \cos^{2} (y)}$

Passaggio 4.3.2.2

Riordina $2$ e $x \cos (y) \sin (y)$ .

$\frac{0 + x \cos (y) \sin (y) \cdot 2}{x \cos^{2} (y)}$

Passaggio 4.3.2.3

Aggiungi le parentesi.

$\frac{0 + x \cos (y) (\sin (y) \cdot 2)}{x \cos^{2} (y)}$

Passaggio 4.3.2.4

Aggiungi le parentesi.

$\frac{0 + x (\cos (y) (\sin (y) \cdot 2))}{x \cos^{2} (y)}$

Passaggio 4.3.2.5

Riordina $\cos (y)$ e $\sin (y) \cdot 2$ .

$\frac{0 + x (\sin (y) \cdot 2 \cos (y))}{x \cos^{2} (y)}$

Passaggio 4.3.2.6

Riordina $\sin (y)$ e $2$ .

$\frac{0 + x (2 \cdot \sin (y) \cos (y))}{x \cos^{2} (y)}$

Passaggio 4.3.2.7

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$\frac{0 + x \sin (2 y)}{x \cos^{2} (y)}$

Passaggio 4.3.2.8

Somma $0$ e $x \sin (2 y)$ .

$\frac{x \sin (2 y)}{x \cos^{2} (y)}$

Passaggio 4.3.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \sin (2 y)}{x \cos^{2} (y)}$

Passaggio 4.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sin (2 y)}{\cos^{2} (y)}$

Passaggio 4.3.4

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$\frac{2 \sin (y) \cos (y)}{\cos^{2} (y)}$

Passaggio 4.3.5

Elimina il fattore comune di $\cos (y)$ e $\cos^{2} (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1

Scomponi $\cos (y)$ da $2 \sin (y) \cos (y)$ .

$\frac{\cos (y) (2 \sin (y))}{\cos^{2} (y)}$

Passaggio 4.3.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.2.1

Scomponi $\cos (y)$ da $\cos^{2} (y)$ .

$\frac{\cos (y) (2 \sin (y))}{\cos (y) \cos (y)}$

Passaggio 4.3.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\cos (y) (2 \sin (y))}{\cos (y) \cos (y)}$

Passaggio 4.3.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 \sin (y)}{\cos (y)}$

Passaggio 4.3.6

Frazioni separate.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (y)}$

Passaggio 4.3.7

Converti da $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ a $\tan (y)$ .

$\frac{2}{1} \tan (y)$

Passaggio 4.3.8

Sostituisci $x \cos^{2} (y)$ a $M$ .

$2 \tan (y)$

Passaggio 4.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int 2 \tan (y) d y}$

Passaggio 5

Valuta l'integrale $e^{\int 2 \tan (y) d y}$ .

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Passaggio 5.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{2 \int \tan (y) d y}$

Passaggio 5.2

L'integrale di $\tan (y)$ rispetto a $y$ è $\ln (| \sec (y) |)$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| \sec (y) |) + C)}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| \sec (y) |)} + C$

Passaggio 5.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Semplifica $2 \ln (| \sec (y) |)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| \sec (y) |}^{2})} + C$

Passaggio 5.4.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$μ (x, y) = {| \sec (y) |}^{2} + C$

Passaggio 5.4.3

Rimuovi il valore assoluto in ${| \sec (y) |}^{2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$μ (x, y) = \sec^{2} (y) + C$

Passaggio 6

Moltiplica entrambi i lati di $x \cos^{2} (y) d x + \tan (y) d y = 0$ per il fattore di integrazione $\sec^{2} (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $x \cos^{2} (y)$ per $\sec^{2} (y)$ .

$x \cos^{2} (y) \sec^{2} (y) d x + \tan (y) d y = 0$

Passaggio 6.2

Riscrivi $\sec (y)$ in termini di seno e coseno.

$x \cos^{2} (y) {(\frac{1}{\cos (y)})}^{2} d x + \tan (y) d y = 0$

Passaggio 6.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$x \cos^{2} (y) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (y)} d x + \tan (y) d y = 0$

Passaggio 6.4

Elimina il fattore comune di $\cos^{2} (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Scomponi $\cos^{2} (y)$ da $x \cos^{2} (y)$ .

$\cos^{2} (y) x \frac{1^{2}}{\cos^{2} (y)} d x + \tan (y) d y = 0$

Passaggio 6.4.2

Elimina il fattore comune.

$\cos^{2} (y) x \frac{1^{2}}{\cos^{2} (y)} d x + \tan (y) d y = 0$

Passaggio 6.4.3

Riscrivi l'espressione.

$x \cdot 1^{2} d x + \tan (y) d y = 0$

Passaggio 6.5

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x \cdot 1 d x + \tan (y) d y = 0$

Passaggio 6.6

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x d x + \tan (y) d y = 0$

Passaggio 6.7

Moltiplica $\tan (y)$ per $\sec^{2} (y)$ .

$x d x + \tan (y) \sec^{2} (y) d y = 0$

Passaggio 7

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x d x$

Passaggio 8

Integra $M (x, y) = x$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Passaggio 9

Poiché l'integrale di $g (y)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$

Passaggio 10

Imposta $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \tan (y) \sec^{2} (y)$

Passaggio 11

Trova $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Differenzia $f$ rispetto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2} + g (y)] = \tan (y) \sec^{2} (y)$

Passaggio 11.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \tan (y) \sec^{2} (y)$

Passaggio 11.3

Poiché $\frac{1}{2} x^{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $\frac{1}{2} x^{2}$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \tan (y) \sec^{2} (y)$

Passaggio 11.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (y)$ è $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + \frac{d g}{d y} = \tan (y) \sec^{2} (y)$

Passaggio 11.5

Somma $0$ e $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{d g}{d y} = \tan (y) \sec^{2} (y)$

Passaggio 12

Trova l'antiderivata di $\tan (y) \sec^{2} (y)$ per trovare $g (y)$ .

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Passaggio 12.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d y} = \tan (y) \sec^{2} (y)$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \tan (y) \sec^{2} (y) d y$

Passaggio 12.2

Calcola $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \tan (y) \sec^{2} (y) d y$

Passaggio 12.3

Sia $u = \sec (y)$ . Allora $d u = \sec (y) \tan (y) d y$ , quindi $\frac{1}{\sec (y) \tan (y)} d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1

Sia $u = \sec (y)$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1.1

Differenzia $\sec (y)$ .

$\frac{d}{d y} [\sec (y)]$

Passaggio 12.3.1.2

La derivata di $\sec (y)$ rispetto a $y$ è $\sec (y) \tan (y)$ .

$\sec (y) \tan (y)$

Passaggio 12.3.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$g (y) = \int u d u$

Passaggio 12.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$g (y) = \frac{1}{2} u^{2} + C$

Passaggio 12.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sec (y)$ .

$g (y) = \frac{1}{2} \sec^{2} (y) + C$

Passaggio 13

Sostituisci a $g (y)$ in $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \sec^{2} (y) + C$

Passaggio 14

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \sec^{2} (y) + C$

Passaggio 14.2

$\frac{1}{2}$ e $\sec^{2} (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{\sec^{2} (y)}{2} + C$