Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 5}{2 y - 1}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $2 y - 1$ .

$(2 y - 1) \frac{d y}{d x} = (2 y - 1) \frac{x^{2} + 5}{2 y - 1}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $2 y - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$(2 y - 1) \frac{d y}{d x} = (2 y - 1) \frac{x^{2} + 5}{2 y - 1}$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$(2 y - 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} + 5$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$(2 y - 1) d y = (x^{2} + 5) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int 2 y - 1 d y = \int x^{2} + 5 d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int 2 y d y + \int - 1 d y = \int x^{2} + 5 d x$

Passaggio 2.2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int y d y + \int - 1 d y = \int x^{2} + 5 d x$

Passaggio 2.2.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int - 1 d y = \int x^{2} + 5 d x$

Passaggio 2.2.4

Applica la regola costante.

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - y + C_{2} = \int x^{2} + 5 d x$

Passaggio 2.2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - y + C_{2} = \int x^{2} + 5 d x$

Passaggio 2.2.5.2

Semplifica.

$y^{2} - y + C_{3} = \int x^{2} + 5 d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y^{2} - y + C_{3} = \int x^{2} d x + \int 5 d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y^{2} - y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + \int 5 d x$

Passaggio 2.3.3

Applica la regola costante.

$y^{2} - y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + 5 x + C_{5}$

Passaggio 2.3.4

Semplifica.

$y^{2} - y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + 5 x + C_{6}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y^{2} - y = \frac{1}{3} x^{3} + 5 x + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$y^{2} - y = \frac{x^{3}}{3} + 5 x + K$

Passaggio 3.2

Sposta tutte le espressioni sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 3.2.1

Sottrai $\frac{x^{3}}{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} - y - \frac{x^{3}}{3} = 5 x + K$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $5 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} - y - \frac{x^{3}}{3} - 5 x = K$

Passaggio 3.2.3

Sottrai $K$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} - y - \frac{x^{3}}{3} - 5 x - K = 0$

Passaggio 3.3

Moltiplica per il minimo comune denominatore $3$ , quindi semplifica.

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Passaggio 3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 y^{2} + 3 (- y) + 3 (- \frac{x^{3}}{3}) + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

Passaggio 3.3.2

Semplifica.

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Passaggio 3.3.2.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$3 y^{2} - 3 y + 3 (- \frac{x^{3}}{3}) + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

Passaggio 3.3.2.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 3.3.2.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{x^{3}}{3}$ nel numeratore.

$3 y^{2} - 3 y + 3 (\frac{- x^{3}}{3}) + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

Passaggio 3.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$3 y^{2} - 3 y + 3 (\frac{- x^{3}}{3}) + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

Passaggio 3.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$3 y^{2} - 3 y - x^{3} + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

Passaggio 3.3.2.3

Moltiplica $- 5$ per $3$ .

$3 y^{2} - 3 y - x^{3} - 15 x + 3 (- K) = 0$

Passaggio 3.3.2.4

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$3 y^{2} - 3 y - x^{3} - 15 x - 3 K = 0$

Passaggio 3.3.3

Sposta $- 15 x$ .

$3 y^{2} - 3 y - x^{3} - 3 K - 15 x = 0$

Passaggio 3.3.4

Sposta $- 3 y$ .

$3 y^{2} - x^{3} - 3 K - 3 y - 15 x = 0$

Passaggio 3.3.5

Riordina $3 y^{2}$ e $- x^{3}$ .

$- x^{3} + 3 y^{2} - 3 K - 3 y - 15 x = 0$

Passaggio 3.4

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.5

Sostituisci i valori $a = 3$ , $b = - 3$ e $c = - x^{3} - 3 K - 15 x$ nella formula quadratica e risolvi per $y$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot (- x^{3} - 3 K - 15 x))}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.6.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 3 \cdot (- x^{3} - 3 K - 15 x)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.6.1.2

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 12 \cdot (- x^{3} - 3 K - 15 x)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.6.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 12 (- x^{3}) - 12 (- 3 K) - 12 (- 15 x)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.6.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 12$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12 x^{3} - 12 (- 3 K) - 12 (- 15 x)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.6.1.4.2

Moltiplica $- 3$ per $- 12$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12 x^{3} + 36 K - 12 (- 15 x)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.6.1.4.3

Moltiplica $- 15$ per $- 12$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12 x^{3} + 36 K + 180 x}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.6.1.5

Scomponi $3$ da $9 + 12 x^{3} + 36 K + 180 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.5.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3) + 12 x^{3} + 36 K + 180 x}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.6.1.5.2

Scomponi $3$ da $12 x^{3}$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3) + 3 (4 x^{3}) + 36 K + 180 x}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.6.1.5.3

Scomponi $3$ da $36 K$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3) + 3 (4 x^{3}) + 3 (12 K) + 180 x}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.6.1.5.4

Scomponi $3$ da $180 x$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3) + 3 (4 x^{3}) + 3 (12 K) + 3 (60 x)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.6.1.5.5

Scomponi $3$ da $3 (3) + 3 (4 x^{3})$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 + 4 x^{3}) + 3 (12 K) + 3 (60 x)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.6.1.5.6

Scomponi $3$ da $3 (3 + 4 x^{3}) + 3 (12 K)$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K) + 3 (60 x)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.6.1.5.7

Scomponi $3$ da $3 (3 + 4 x^{3} + 12 K) + 3 (60 x)$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

Passaggio 3.7

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + K + 60 x)}}{6}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + K + 60 x)}}{6}$