Calcolo Esempi

$(1 + \ln (x)) d x + (1 + \ln (y)) d y = 0$

Passaggio 1

Sottrai $(1 + \ln (x)) d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$(1 + \ln (y)) d y = - (1 + \ln (x)) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int 1 + \ln (y) d y = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int d y + \int \ln (y) d y = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Passaggio 2.2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} + \int \ln (y) d y = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Passaggio 2.2.3

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \ln (y)$ e $d v = 1$ .

$y + C_{1} + \ln (y) y - \int y \frac{1}{y} d y = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Passaggio 2.2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

$y$ e $\frac{1}{y}$ .

$y + C_{1} + \ln (y) y - \int \frac{y}{y} d y = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Passaggio 2.2.4.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$y + C_{1} + \ln (y) y - \int \frac{y}{y} d y = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Passaggio 2.2.4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y + C_{1} + \ln (y) y - \int d y = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Passaggio 2.2.5

Applica la regola costante.

$y + C_{1} + \ln (y) y - (y + C_{2}) = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Passaggio 2.2.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1

Semplifica.

$y + \ln (y) y - y + C_{3} = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Passaggio 2.2.6.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.2.1

Sottrai $y$ da $y$ .

$\ln (y) y + 0 + C_{3} = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Passaggio 2.2.6.2.2

Somma $\ln (y) y$ e $0$ .

$\ln (y) y + C_{3} = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Passaggio 2.2.7

Riordina i termini.

$y \ln (y) + C_{3} = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y \ln (y) + C_{3} = - \int 1 + \ln (x) d x$

Passaggio 2.3.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y \ln (y) + C_{3} = - (\int d x + \int \ln (x) d x)$

Passaggio 2.3.3

Applica la regola costante.

$y \ln (y) + C_{3} = - (x + C_{4} + \int \ln (x) d x)$

Passaggio 2.3.4

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \ln (x)$ e $d v = 1$ .

$y \ln (y) + C_{3} = - (x + C_{4} + \ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

$x$ e $\frac{1}{x}$ .

$y \ln (y) + C_{3} = - (x + C_{4} + \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x)$

Passaggio 2.3.5.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.2.1

Elimina il fattore comune.

$y \ln (y) + C_{3} = - (x + C_{4} + \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x)$

Passaggio 2.3.5.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y \ln (y) + C_{3} = - (x + C_{4} + \ln (x) x - \int d x)$

Passaggio 2.3.6

Applica la regola costante.

$y \ln (y) + C_{3} = - (x + C_{4} + \ln (x) x - (x + C_{5}))$

Passaggio 2.3.7

Semplifica.

$y \ln (y) + C_{3} = - \ln (x) x + C_{6}$

Passaggio 2.3.8

Riordina i termini.

$y \ln (y) + C_{3} = - x \ln (x) + C_{6}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y \ln (y) = - x \ln (x) + K$