Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} + 4 x y = 2 x$

Passaggio 1

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int 4 x d x}$

Passaggio 1.2

Integra $4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$e^{4 \int x d x}$

Passaggio 1.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{4 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Riscrivi $4 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ come $4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

$4$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{4}{2} x^{2} + C}$

Passaggio 1.2.3.2.2

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$e^{\frac{2 \cdot 2}{2} x^{2} + C}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$e^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} x^{2} + C}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$e^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} x^{2} + C}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$e^{\frac{2}{1} x^{2} + C}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$e^{2 x^{2} + C}$

Passaggio 1.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{2 x^{2}}$

Passaggio 2

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{2 x^{2}}$ .

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Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine per $e^{2 x^{2}}$ .

$e^{2 x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{2 x^{2}} (4 x y) = e^{2 x^{2}} (2 x)$

Passaggio 2.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{2 x^{2}} \frac{d y}{d x} + 4 e^{2 x^{2}} (x y) = e^{2 x^{2}} (2 x)$

Passaggio 2.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{2 x^{2}} \frac{d y}{d x} + 4 e^{2 x^{2}} (x y) = 2 e^{2 x^{2}} x$

Passaggio 2.4

Riordina i fattori in $e^{2 x^{2}} \frac{d y}{d x} + 4 e^{2 x^{2}} (x y) = 2 e^{2 x^{2}} x$ .

$e^{2 x^{2}} \frac{d y}{d x} + 4 x y e^{2 x^{2}} = 2 x e^{2 x^{2}}$

Passaggio 3

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x^{2}} y] = 2 x e^{2 x^{2}}$

Passaggio 4

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x^{2}} y] d x = \int 2 x e^{2 x^{2}} d x$

Passaggio 5

Integra il lato sinistro.

$e^{2 x^{2}} y = \int 2 x e^{2 x^{2}} d x$

Passaggio 6

Integra il lato destro.

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Passaggio 6.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$e^{2 x^{2}} y = 2 \int x e^{2 x^{2}} d x$

Passaggio 6.2

Sia $u_{2} = e^{2 x^{2}}$ . Allora $d u_{2} = 4 x e^{2 x^{2}} d x$ , quindi $\frac{1}{4} d u_{2} = x e^{2 x^{2}} d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 6.2.1

Sia $u_{2} = e^{2 x^{2}}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Passaggio 6.2.1.1

Differenzia $e^{2 x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x^{2}}]$

Passaggio 6.2.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x^{2}$ .

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Passaggio 6.2.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Passaggio 6.2.1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Passaggio 6.2.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x^{2}$ .

$e^{2 x^{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Passaggio 6.2.1.3

Differenzia.

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Passaggio 6.2.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{2 x^{2}} (2 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 6.2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$e^{2 x^{2}} (2 (2 x))$

Passaggio 6.2.1.3.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$e^{2 x^{2}} (4 x)$

Passaggio 6.2.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.4.1

Riordina i fattori di $e^{2 x^{2}} (4 x)$ .

$4 e^{2 x^{2}} x$

Passaggio 6.2.1.4.2

Riordina i fattori in $4 e^{2 x^{2}} x$ .

$4 x e^{2 x^{2}}$

Passaggio 6.2.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$e^{2 x^{2}} y = 2 \int \frac{1}{4} d u_{2}$

Passaggio 6.3

Applica la regola costante.

$e^{2 x^{2}} y = 2 (\frac{1}{4} u_{2} + C)$

Passaggio 6.4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 6.4.1

Riscrivi $2 (\frac{1}{4} u_{2} + C)$ come $2 (\frac{1}{4}) u_{2} + C$ .

$e^{2 x^{2}} y = 2 (\frac{1}{4}) u_{2} + C$

Passaggio 6.4.2

Semplifica.

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Passaggio 6.4.2.1

$2$ e $\frac{1}{4}$ .

$e^{2 x^{2}} y = \frac{2}{4} u_{2} + C$

Passaggio 6.4.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

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Passaggio 6.4.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$e^{2 x^{2}} y = \frac{2 (1)}{4} u_{2} + C$

Passaggio 6.4.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$e^{2 x^{2}} y = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u_{2} + C$

Passaggio 6.4.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$e^{2 x^{2}} y = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u_{2} + C$

Passaggio 6.4.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$e^{2 x^{2}} y = \frac{1}{2} u_{2} + C$

Passaggio 6.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $e^{2 x^{2}}$ .

$e^{2 x^{2}} y = \frac{1}{2} e^{2 x^{2}} + C$

Passaggio 7

Dividi per $e^{2 x^{2}}$ ciascun termine in $e^{2 x^{2}} y = \frac{1}{2} e^{2 x^{2}} + C$ e semplifica.

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Passaggio 7.1

Dividi per $e^{2 x^{2}}$ ciascun termine in $e^{2 x^{2}} y = \frac{1}{2} e^{2 x^{2}} + C$ .

$\frac{e^{2 x^{2}} y}{e^{2 x^{2}}} = \frac{\frac{1}{2} e^{2 x^{2}}}{e^{2 x^{2}}} + \frac{C}{e^{2 x^{2}}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{2 x^{2}}$ .

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Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{2 x^{2}} y}{e^{2 x^{2}}} = \frac{\frac{1}{2} e^{2 x^{2}}}{e^{2 x^{2}}} + \frac{C}{e^{2 x^{2}}}$

Passaggio 7.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{2 x^{2}}}{e^{2 x^{2}}} + \frac{C}{e^{2 x^{2}}}$

Passaggio 7.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Elimina il fattore comune di $e^{2 x^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{2 x^{2}}}{e^{2 x^{2}}} + \frac{C}{e^{2 x^{2}}}$

Passaggio 7.3.1.2

Dividi $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$y = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{2 x^{2}}}$