Calcolo Esempi

$y^{2} d x + (x y + y^{2} - 1) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = x y + y^{2} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y + y^{2} - 1]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x y + y^{2} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $x y$ rispetto a $x$ è $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $y$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $y^{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + 0 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.4.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + 0 + 0$

Passaggio 2.5

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Somma $y$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + 0$

Passaggio 2.5.2

Somma $y$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $2 y$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $y$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$2 y = y$

Passaggio 3.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$2 y = y$ non è un'identità.

Passaggio 4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $y$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{y - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Passaggio 4.2

Sostituisci $2 y$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{y - (2 y)}{M}$

Passaggio 4.3

Sostituisci $y^{2}$ a $M$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $y^{2}$ a $M$ .

$\frac{y - (2 y)}{y^{2}}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Scomponi $y$ da $y - 1 \cdot 2 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{y^{1} - 1 \cdot 2 y}{y^{2}}$

Passaggio 4.3.2.1.2

Scomponi $y$ da $y^{1}$ .

$\frac{y \cdot 1 - 1 \cdot 2 y}{y^{2}}$

Passaggio 4.3.2.1.3

Scomponi $y$ da $- 1 \cdot 2 y$ .

$\frac{y \cdot 1 + y (- 1 \cdot 2)}{y^{2}}$

Passaggio 4.3.2.1.4

Scomponi $y$ da $y \cdot 1 + y (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{y (1 - 1 \cdot 2)}{y^{2}}$

Passaggio 4.3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{y (1 - 2)}{y^{2}}$

Passaggio 4.3.2.3

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{y \cdot - 1}{y^{2}}$

Passaggio 4.3.3

Elimina il fattore comune di $y$ e $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Scomponi $y$ da $y \cdot - 1$ .

$\frac{y (- 1)}{y^{2}}$

Passaggio 4.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.2.1

Scomponi $y$ da $y^{2}$ .

$\frac{y (- 1)}{y \cdot y}$

Passaggio 4.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{y \cdot - 1}{y \cdot y}$

Passaggio 4.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{y}$

Passaggio 4.3.4

Sostituisci $y^{2}$ a $M$ .

$- \frac{1}{y}$

Passaggio 4.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

Passaggio 5

Valuta l'integrale $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

Passaggio 5.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

Passaggio 5.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Semplifica $- \ln (| y |)$ spostando $- 1$ all'interno del logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

Passaggio 5.4.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

Passaggio 5.4.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

Passaggio 6

Moltiplica entrambi i lati di $y^{2} d x + (x y + y^{2} - 1) d y = 0$ per il fattore di integrazione $\frac{1}{y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $y^{2}$ per $\frac{1}{y}$ .

$y^{2} \frac{1}{y} d x + (x y + y^{2} - 1) d y = 0$

Passaggio 6.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Scomponi $y$ da $y^{2}$ .

$y \cdot y \frac{1}{y} d x + (x y + y^{2} - 1) d y = 0$

Passaggio 6.2.2

Elimina il fattore comune.

$y \cdot y \frac{1}{y} d x + (x y + y^{2} - 1) d y = 0$

Passaggio 6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y d x + (x y + y^{2} - 1) d y = 0$

Passaggio 6.3

Moltiplica $x y + y^{2} - 1$ per $\frac{1}{y}$ .

$y d x + (x y + y^{2} - 1) \frac{1}{y} d y = 0$

Passaggio 6.4

Moltiplica $x y + y^{2} - 1$ per $\frac{1}{y}$ .

$y d x + \frac{x y + y^{2} - 1}{y} d y = 0$

Passaggio 7

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y d x$

Passaggio 8

Integra $M (x, y) = y$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Applica la regola costante.

$f (x, y) = y x + C$

Passaggio 9

Poiché l'integrale di $g (y)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = y x + g (y)$

Passaggio 10

Imposta $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x y + y^{2} - 1}{y}$

Passaggio 11

Trova $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Differenzia $f$ rispetto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [y x + g (y)] = \frac{x y + y^{2} - 1}{y}$

Passaggio 11.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y x + g (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y + y^{2} - 1}{y}$

Passaggio 11.3

Calcola $\frac{d}{d y} [y x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $y x$ rispetto a $y$ è $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y + y^{2} - 1}{y}$

Passaggio 11.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y + y^{2} - 1}{y}$

Passaggio 11.3.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y + y^{2} - 1}{y}$

Passaggio 11.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (y)$ è $\frac{d g}{d y}$ .

$x + \frac{d g}{d y} = \frac{x y + y^{2} - 1}{y}$

Passaggio 11.5

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d y} + x = \frac{x y + y^{2} - 1}{y}$

Passaggio 12

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d y}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} = \frac{x y + y^{2} - 1}{y} - x$

Passaggio 12.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.2.1

Dividi la frazione $\frac{x y + y^{2} - 1}{y}$ in due frazioni.

$\frac{d g}{d y} = \frac{x y + y^{2}}{y} + \frac{- 1}{y} - x$

Passaggio 12.1.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.2.2.1

Scomponi $y$ da $x y + y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.2.2.1.1

Scomponi $y$ da $x y$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{y x + y^{2}}{y} + \frac{- 1}{y} - x$

Passaggio 12.1.2.2.1.2

Scomponi $y$ da $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{y x + y \cdot y}{y} + \frac{- 1}{y} - x$

Passaggio 12.1.2.2.1.3

Scomponi $y$ da $y x + y \cdot y$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{y (x + y)}{y} + \frac{- 1}{y} - x$

Passaggio 12.1.2.2.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d g}{d y} = \frac{y (x + y)}{y} + \frac{- 1}{y} - x$

Passaggio 12.1.2.2.2.2

Dividi $x + y$ per $1$ .

$\frac{d g}{d y} = x + y + \frac{- 1}{y} - x$

Passaggio 12.1.2.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d g}{d y} = x + y - \frac{1}{y} - x$

Passaggio 12.1.3

Combina i termini opposti in $x + y - \frac{1}{y} - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.3.1

Sottrai $x$ da $x$ .

$\frac{d g}{d y} = y - \frac{1}{y} + 0$

Passaggio 12.1.3.2

Somma $y - \frac{1}{y}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y - \frac{1}{y}$

Passaggio 13

Trova l'antiderivata di $y - \frac{1}{y}$ per trovare $g (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d y} = y - \frac{1}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y - \frac{1}{y} d y$

Passaggio 13.2

Calcola $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y - \frac{1}{y} d y$

Passaggio 13.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$g (y) = \int y d y + \int - \frac{1}{y} d y$

Passaggio 13.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y^{2} + C + \int - \frac{1}{y} d y$

Passaggio 13.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$g (y) = \frac{1}{2} y^{2} + C - \int \frac{1}{y} d y$

Passaggio 13.6

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y^{2} + C - (\ln (| y |) + C)$

Passaggio 13.7

Semplifica.

$g (y) = \frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C$

Passaggio 14

Sostituisci a $g (y)$ in $f (x, y) = y x + g (y)$ .

$f (x, y) = y x + \frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C$

Passaggio 15

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = y x + \frac{y^{2}}{2} - \ln (| y |) + C$