Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = (x - 2) e^{- 2 y}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{e^{- 2 y}}$ .

$\frac{1}{e^{- 2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- 2 y}} ((x - 2) e^{- 2 y})$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $e^{- 2 y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi $e^{- 2 y}$ da $(x - 2) e^{- 2 y}$ .

$\frac{1}{e^{- 2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- 2 y}} (e^{- 2 y} (x - 2))$

Passaggio 1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{e^{- 2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- 2 y}} (e^{- 2 y} (x - 2))$

Passaggio 1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{e^{- 2 y}} \frac{d y}{d x} = x - 2$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{e^{- 2 y}} d y = (x - 2) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{e^{- 2 y}} d y = \int x - 2 d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Nega l'esponente di $e^{- 2 y}$ e rimuovilo dal denominatore.

$\int 1 {(e^{- 2 y})}^{- 1} d y = \int x - 2 d x$

Passaggio 2.2.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{- 2 y})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- 2 y \cdot - 1} d y = \int x - 2 d x$

Passaggio 2.2.1.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\int 1 e^{2 y} d y = \int x - 2 d x$

Passaggio 2.2.1.2.2

Moltiplica $e^{2 y}$ per $1$ .

$\int e^{2 y} d y = \int x - 2 d x$

Passaggio 2.2.2

Sia $u = 2 y$ . Allora $d u = 2 d y$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Sia $u = 2 y$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

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Passaggio 2.2.2.1.1

Differenzia $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Passaggio 2.2.2.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 y$ rispetto a $y$ è $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.2.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 2.2.2.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 2.2.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{2} d u = \int x - 2 d x$

Passaggio 2.2.3

$e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{e^{u}}{2} d u = \int x - 2 d x$

Passaggio 2.2.4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int e^{u} d u = \int x - 2 d x$

Passaggio 2.2.5

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C_{1}) = \int x - 2 d x$

Passaggio 2.2.6

Semplifica.

$\frac{1}{2} e^{u} + C_{1} = \int x - 2 d x$

Passaggio 2.2.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 y$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \int x - 2 d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \int x d x + \int - 2 d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int - 2 d x$

Passaggio 2.3.3

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} - 2 x + C_{3}$

Passaggio 2.3.4

Semplifica.

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} e^{2 y}) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + K)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} e^{2 y})$ .

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Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $e^{2 y}$ .

$2 \frac{e^{2 y}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{e^{2 y}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{2 y} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + K)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + K)$ .

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Passaggio 3.2.2.1.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$e^{2 y} = 2 (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + K)$

Passaggio 3.2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$e^{2 y} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 (- 2 x) + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$e^{2 y} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 (- 2 x) + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{2 y} = x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.2

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$e^{2 y} = x^{2} - 4 x + 2 K$

Passaggio 3.3

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{2 y}) = \ln (x^{2} - 4 x + 2 K)$

Passaggio 3.4

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 3.4.1

Espandi $\ln (e^{2 y})$ spostando $2 y$ fuori dal logaritmo.

$2 y \ln (e) = \ln (x^{2} - 4 x + 2 K)$

Passaggio 3.4.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$2 y \cdot 1 = \ln (x^{2} - 4 x + 2 K)$

Passaggio 3.4.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 y = \ln (x^{2} - 4 x + 2 K)$

Passaggio 3.5

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y = \ln (x^{2} - 4 x + 2 K)$ e semplifica.

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Passaggio 3.5.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y = \ln (x^{2} - 4 x + 2 K)$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x^{2} - 4 x + 2 K)}{2}$

Passaggio 3.5.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.5.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x^{2} - 4 x + 2 K)}{2}$

Passaggio 3.5.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\ln (x^{2} - 4 x + 2 K)}{2}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{\ln (x^{2} - 4 x + K)}{2}$