Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come una funzione di $\frac{y}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica $\frac{x y}{x^{2} + y^{2}}$ per $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x^{2} + y^{2}} \cdot \frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$

Passaggio 1.2

Moltiplica $\frac{x y}{x^{2} + y^{2}}$ per $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} + y^{2}) \frac{1}{x^{2}}}$

Passaggio 1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{x^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{x^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

Passaggio 1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{1 + y^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

Passaggio 1.5

$y^{2}$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Passaggio 1.6

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Scomponi $x$ da $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y) \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Passaggio 1.6.2

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y) \frac{1}{x \cdot x}}{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Passaggio 1.6.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x \cdot x}}{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Passaggio 1.6.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x}}{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Passaggio 1.7

$y$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Passaggio 1.8

Usa la regola della potenza di un quoziente $\frac{a^{m}}{b^{m}} = {(\frac{a}{b})}^{m}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}}$

Passaggio 2

Sia $V = \frac{y}{x}$ . Sostituisci $V$ a $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{V}{1 + V^{2}}$

Passaggio 3

Risolvi $V = \frac{y}{x}$ per $y$ .

$y = V x$

Passaggio 4

Usa la regola del prodotto per trovare la derivata di $y = V x$ rispetto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Passaggio 5

Sostituisci $x \frac{d V}{d x} + V$ a $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{1 + V^{2}}$

Passaggio 6

Risolvi l'equazione differenziale sostituita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Risolvi per $\frac{d V}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1

Sottrai $V$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 + V^{2}} - V$

Passaggio 6.1.1.2

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 + V^{2}} - V$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 + V^{2}} - V$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{1 + V^{2}}}{x} + \frac{- V}{x}$

Passaggio 6.1.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{1 + V^{2}}}{x} + \frac{- V}{x}$

Passaggio 6.1.1.2.2.1.2

Dividi $\frac{d V}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{1 + V^{2}}}{x} + \frac{- V}{x}$

Passaggio 6.1.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{1 + V^{2}} - V}{x}$

Passaggio 6.1.1.2.3.2

Per scrivere $- V$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{1 + V^{2}}{1 + V^{2}}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{1 + V^{2}} - V \cdot \frac{1 + V^{2}}{1 + V^{2}}}{x}$

Passaggio 6.1.1.2.3.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.3.3.1

$- V$ e $\frac{1 + V^{2}}{1 + V^{2}}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{1 + V^{2}} + \frac{- V (1 + V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

Passaggio 6.1.1.2.3.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V - V (1 + V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

Passaggio 6.1.1.2.3.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.3.4.1

Scomponi $V$ da $V - V (1 + V^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.3.4.1.1

Eleva $V$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{1} - V (1 + V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

Passaggio 6.1.1.2.3.4.1.2

Scomponi $V$ da $V^{1}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot 1 - V (1 + V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

Passaggio 6.1.1.2.3.4.1.3

Scomponi $V$ da $- V (1 + V^{2})$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot 1 + V (- (1 + V^{2}))}{1 + V^{2}}}{x}$

Passaggio 6.1.1.2.3.4.1.4

Scomponi $V$ da $V \cdot 1 + V (- (1 + V^{2}))$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (1 - (1 + V^{2}))}{1 + V^{2}}}{x}$

Passaggio 6.1.1.2.3.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (1 - 1 \cdot 1 - V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

Passaggio 6.1.1.2.3.4.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (1 - 1 - V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

Passaggio 6.1.1.2.3.4.4

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (0 - V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

Passaggio 6.1.1.2.3.4.5

Sottrai $V^{2}$ da $0$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot - 1 V^{2}}{1 + V^{2}}}{x}$

Passaggio 6.1.1.2.3.4.6

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.3.4.6.1

Metti in evidenza il valore negativo.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- (V \cdot V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

Passaggio 6.1.1.2.3.4.6.2

Moltiplica $V$ per $V^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.3.4.6.2.1

Moltiplica $V$ per $V^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.3.4.6.2.1.1

Eleva $V$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- (V^{1} V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

Passaggio 6.1.1.2.3.4.6.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- V^{1 + 2}}{1 + V^{2}}}{x}$

Passaggio 6.1.1.2.3.4.6.2.2

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- V^{3}}{1 + V^{2}}}{x}$

Passaggio 6.1.1.2.3.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V^{3}}{1 + V^{2}}}{x}$

Passaggio 6.1.1.2.3.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{3}}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1}{x}$

Passaggio 6.1.1.2.3.7

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $\frac{V^{3}}{1 + V^{2}}$ .

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{3}}{x (1 + V^{2})}$

Passaggio 6.1.2

Raggruppa i fattori.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{3}}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1}{x}$

Passaggio 6.1.3

Moltiplica ogni lato per $\frac{1 + V^{2}}{V^{3}}$ .

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{V^{3}} (- \frac{V^{3}}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1}{x})$

Passaggio 6.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.4.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = - \frac{1 + V^{2}}{V^{3}} (\frac{V^{3}}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1}{x})$

Passaggio 6.1.4.2

Moltiplica $\frac{V^{3}}{1 + V^{2}}$ per $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = - \frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3}}{(1 + V^{2}) x}$

Passaggio 6.1.4.3

Elimina il fattore comune di $1 + V^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.4.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1 + V^{2}}{V^{3}}$ nel numeratore.

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{- (1 + V^{2})}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3}}{(1 + V^{2}) x}$

Passaggio 6.1.4.3.2

Scomponi $1 + V^{2}$ da $- (1 + V^{2})$ .

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V^{2}) \cdot - 1}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3}}{(1 + V^{2}) x}$

Passaggio 6.1.4.3.3

Scomponi $1 + V^{2}$ da $(1 + V^{2}) x$ .

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V^{2}) \cdot - 1}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3}}{(1 + V^{2}) (x)}$

Passaggio 6.1.4.3.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V^{2}) \cdot - 1}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3}}{(1 + V^{2}) x}$

Passaggio 6.1.4.3.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3}}{x}$

Passaggio 6.1.4.4

Elimina il fattore comune di $V^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3}}{x}$

Passaggio 6.1.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x}$

Passaggio 6.1.5

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} d V = - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1 + V^{2}}{V^{3}} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Sposta $V^{3}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int (1 + V^{2}) {(V^{3})}^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(V^{3})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (1 + V^{2}) V^{3 \cdot - 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.1.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\int (1 + V^{2}) V^{- 3} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.2

Moltiplica $(1 + V^{2}) V^{- 3}$ .

$\int 1 V^{- 3} + V^{2} V^{- 3} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.3.1

Moltiplica $V^{- 3}$ per $1$ .

$\int V^{- 3} + V^{2} V^{- 3} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.2

Moltiplica $V^{2}$ per $V^{- 3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.3.2.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int V^{- 3} + V^{2 - 3} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.2.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$\int V^{- 3} + V^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int V^{- 3} d V + \int V^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $V^{- 3}$ rispetto a $V$ è $- \frac{1}{2} V^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} V^{- 2} + C_{1} + \int V^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.6

L'integrale di $V^{- 1}$ rispetto a $V$ è $\ln (| V |)$ .

$- \frac{1}{2} V^{- 2} + C_{1} + \ln (| V |) + C_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.7.1

Semplifica.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{V^{2}} + \ln (| V |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.7.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.7.2.1

Moltiplica $\frac{1}{V^{2}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{V^{2} \cdot 2} + \ln (| V |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.7.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $V^{2}$ .

$- \frac{1}{2 V^{2}} + \ln (| V |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{2 V^{2}} + \ln (| V |) + C_{3} = - \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.3.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{2 V^{2}} + \ln (| V |) + C_{3} = - (\ln (| x |) + C_{4})$

Passaggio 6.2.3.3

Semplifica.

$- \frac{1}{2 V^{2}} + \ln (| V |) + C_{3} = - \ln (| x |) + C_{4}$

Passaggio 6.2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$- \frac{1}{2 V^{2}} + \ln (| V |) = - \ln (| x |) + C$

Passaggio 7

Sostituisci $\frac{y}{x}$ a $V$ .

$- \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + \ln (| \frac{y}{x} |) = - \ln (| x |) + C$

Passaggio 8

Risolvi $- \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + \ln (| \frac{y}{x} |) = - \ln (| x |) + C$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| \frac{y}{x} |) + \ln (| x |) = \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + C$

Passaggio 8.2

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| \frac{y}{x} | | x |) = \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + C$

Passaggio 8.3

Moltiplica $| \frac{y}{x} | | x |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Per moltiplicare dei valori assoluti, moltiplica i termini all'interno di ciascun valore assoluto.

$\ln (| \frac{y}{x} \cdot x |) = \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + C$

Passaggio 8.3.2

$\frac{y}{x}$ e $x$ .

$\ln (| \frac{y x}{x} |) = \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + C$

Passaggio 8.4

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (| \frac{y x}{x} |) = \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + C$

Passaggio 8.4.2

Dividi $y$ per $1$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + C$

Passaggio 8.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{y}{x}$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{2 (\frac{y^{2}}{x^{2}})} + C$

Passaggio 8.5.2

$2$ e $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{\frac{2 y^{2}}{x^{2}}} + C$

Passaggio 8.5.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\ln (| y |) = 1 (\frac{x^{2}}{2 y^{2}}) + C$

Passaggio 8.5.4

Moltiplica $\frac{x^{2}}{2 y^{2}}$ per $1$ .

$\ln (| y |) = \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + C$