Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sec^{2} (y)}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{\sec^{2} (y)}$ .

$\frac{1}{\sec^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sec^{2} (y)} \cdot \frac{\sec^{2} (y)}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $\sec^{2} (y)$ .

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Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\sec^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sec^{2} (y)} \cdot \frac{\sec^{2} (y)}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\sec^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{\sec^{2} (y)} d y = \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{\sec^{2} (y)} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Semplifica.

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Passaggio 2.2.1.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\int \frac{1^{2}}{\sec^{2} (y)} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (y)}$ come ${(\frac{1}{\sec (y)})}^{2}$ .

$\int {(\frac{1}{\sec (y)})}^{2} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.1.3

Riscrivi $\sec (y)$ in termini di seno e coseno.

$\int {(\frac{1}{\frac{1}{\cos (y)}})}^{2} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.1.4

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$\int {(1 \cos (y))}^{2} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.1.5

Moltiplica $\cos (y)$ per $1$ .

$\int \cos^{2} (y) d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.2

Usa la formula di bisezione per riscrivere $\cos^{2} (y)$ come $\frac{1 + \cos (2 y)}{2}$ .

$\int \frac{1 + \cos (2 y)}{2} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $y$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 y) d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{2} (\int d y + \int \cos (2 y) d y) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.5

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} (y + C_{1} + \int \cos (2 y) d y) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.6

Sia $u = 2 y$ . Allora $d u = 2 d y$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.2.6.1

Sia $u = 2 y$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

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Passaggio 2.2.6.1.1

Differenzia $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Passaggio 2.2.6.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 y$ rispetto a $y$ è $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.2.6.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 2.2.6.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 2.2.6.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{2} (y + C_{1} + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.7

$\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (y + C_{1} + \int \frac{\cos (u)}{2} d u) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.8

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (y + C_{1} + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.9

L'integrale di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (y + C_{1} + \frac{1}{2} (\sin (u) + C_{2})) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.10

Semplifica.

$\frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (u)) + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.11

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 y$ .

$\frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (2 y)) + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.12

Semplifica.

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Passaggio 2.2.12.1

$\frac{1}{2}$ e $\sin (2 y)$ .

$\frac{1}{2} (y + \frac{\sin (2 y)}{2}) + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.12.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} y + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.12.3

$\frac{1}{2}$ e $y$ .

$\frac{y}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.12.4

Moltiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2}$ .

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Passaggio 2.2.12.4.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{\sin (2 y)}{2}$ .

$\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{2 \cdot 2} + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.12.4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{4} + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.13

Riordina i termini.

$\frac{1}{2} y + \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{1}{2} y + \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Passaggio 2.3.2

L'integrale di $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\arctan (x) + C_{4}$ .

$\frac{1}{2} y + \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = \arctan (x) + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{2} y + \frac{1}{4} \sin (2 y) = \arctan (x) + K$