Calcolo Esempi

$(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x} + 2 y = {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi per $x^{2} - 1$ ciascun termine in $(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x} + 2 y = {(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} - 1} + \frac{2 y}{x^{2} - 1} = \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $x^{2} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} - 1} + \frac{2 y}{x^{2} - 1} = \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Passaggio 1.2.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x^{2} - 1} = \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Passaggio 1.3

Scomponi $y$ da $\frac{2 y}{x^{2} - 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{2}{x^{2} - 1} = \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Passaggio 1.4

Riordina $y$ e $\frac{2}{x^{2} - 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x^{2} - 1} y = \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = \frac{2}{x^{2} - 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int \frac{2}{x^{2} - 1} d x}$

Passaggio 2.2

Integra $\frac{2}{x^{2} - 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$e^{2 \int \frac{1}{x^{2} - 1} d x}$

Passaggio 2.2.2

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Scomponi la frazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} - 1^{2}}$

Passaggio 2.2.2.1.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 2.2.2.1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{x + 1}$

Passaggio 2.2.2.1.3

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$

Passaggio 2.2.2.1.4

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 2.2.2.1.5

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 2.2.2.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 2.2.2.1.6

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 2.2.2.1.6.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 2.2.2.1.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.7.1

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.7.1.1

Elimina il fattore comune.

$1 = \frac{A (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 2.2.2.1.7.1.2

Dividi $(A) (x - 1)$ per $1$ .

$1 = (A) (x - 1) + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 2.2.2.1.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 2.2.2.1.7.3

Sposta $- 1$ alla sinistra di $A$ .

$1 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 2.2.2.1.7.4

Riscrivi $- 1 A$ come $- A$ .

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 2.2.2.1.7.5

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.7.5.1

Elimina il fattore comune.

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 2.2.2.1.7.5.2

Dividi $(B) (x + 1)$ per $1$ .

$1 = A x - A + (B) (x + 1)$

Passaggio 2.2.2.1.7.6

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A x - A + B x + B \cdot 1$

Passaggio 2.2.2.1.7.7

Moltiplica $B$ per $1$ .

$1 = A x - A + B x + B$

Passaggio 2.2.2.1.8

Sposta $- A$ .

$1 = A x + B x - A + B$

Passaggio 2.2.2.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = A + B$

Passaggio 2.2.2.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = - 1 A + B$

Passaggio 2.2.2.2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

Passaggio 2.2.2.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.3.1

Risolvi per $A$ in $0 = A + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.3.1.1

Riscrivi l'equazione come $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$1 = - 1 A + B$

Passaggio 2.2.2.3.1.2

Sottrai $B$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

Passaggio 2.2.2.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $- B$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $1 = - 1 A + B$ con $- B$ .

$1 = - 1 (- B) + B$

$A = - B$

Passaggio 2.2.2.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.3.2.2.1

Semplifica $- 1 (- B) + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.3.2.2.1.1

Moltiplica $- 1 (- B)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.3.2.2.1.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 = 1 B + B$

$A = - B$

Passaggio 2.2.2.3.2.2.1.1.2

Moltiplica $B$ per $1$ .

$1 = B + B$

$A = - B$

$1 = B + B$

$A = - B$

Passaggio 2.2.2.3.2.2.1.2

Somma $B$ e $B$ .

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

Passaggio 2.2.2.3.3

Risolvi per $B$ in $1 = 2 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $2 B = 1$ .

$2 B = 1$

$A = - B$

Passaggio 2.2.2.3.3.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 B = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.3.3.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 B = 1$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Passaggio 2.2.2.3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.3.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.3.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Passaggio 2.2.2.3.3.2.2.1.2

Dividi $B$ per $1$ .

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Passaggio 2.2.2.3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $\frac{1}{2}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $A = - B$ con $\frac{1}{2}$ .

$A = - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

Passaggio 2.2.2.3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.3.4.2.1

Moltiplica $- 1$ per $\frac{1}{2}$ .

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Passaggio 2.2.2.3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$A = - \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

Passaggio 2.2.2.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{- \frac{1}{2}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Passaggio 2.2.2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.5.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Passaggio 2.2.2.5.2

Moltiplica $\frac{1}{x + 1}$ per $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{(x + 1) \cdot 2} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Passaggio 2.2.2.5.3

Sposta $2$ alla sinistra di $x + 1$ .

$- \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Passaggio 2.2.2.5.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x - 1}$

Passaggio 2.2.2.5.5

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{x - 1}$ .

$e^{2 \int - \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2 (x - 1)} d x}$

Passaggio 2.2.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$e^{2 (\int - \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)}$

Passaggio 2.2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{2 (- \int \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)}$

Passaggio 2.2.5

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$e^{2 (- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 1} d x) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)}$

Passaggio 2.2.6

Sia $u_{1} = x + 1$ . Allora $d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1

Sia $u_{1} = x + 1$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1.1

Differenzia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 2.2.6.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.6.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.6.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.2.6.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.2.6.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$e^{2 (- \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)}$

Passaggio 2.2.7

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$e^{2 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)}$

Passaggio 2.2.8

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$e^{2 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x - 1} d x)}$

Passaggio 2.2.9

Sia $u_{2} = x - 1$ . Allora $d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.9.1

Sia $u_{2} = x - 1$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.9.1.1

Differenzia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 2.2.9.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.9.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.9.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.2.9.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.2.9.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$e^{2 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})}$

Passaggio 2.2.10

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$e^{2 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C))}$

Passaggio 2.2.11

Semplifica.

$e^{2 (- \frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |)) + C}$

Passaggio 2.2.12

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.12.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x + 1$ .

$e^{2 (- \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |)) + C}$

Passaggio 2.2.12.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x - 1$ .

$e^{2 (- \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |)) + C}$

Passaggio 2.2.13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.13.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.13.1.1

$\ln (| x + 1 |)$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 (- \frac{\ln (| x + 1 |)}{2} + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |)) + C}$

Passaggio 2.2.13.1.2

$\frac{1}{2}$ e $\ln (| x - 1 |)$ .

$e^{2 (- \frac{\ln (| x + 1 |)}{2} + \frac{\ln (| x - 1 |)}{2}) + C}$

Passaggio 2.2.13.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$e^{2 \frac{- \ln (| x + 1 |) + \ln (| x - 1 |)}{2} + C}$

Passaggio 2.2.13.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.13.3.1

Elimina il fattore comune.

$e^{2 \frac{- \ln (| x + 1 |) + \ln (| x - 1 |)}{2} + C}$

Passaggio 2.2.13.3.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{- \ln (| x + 1 |) + \ln (| x - 1 |) + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{- \ln (x + 1) + \ln (x - 1)}$

Passaggio 2.4

Usa la regola della potenza logaritmica.

$e^{\ln ({(x + 1)}^{- 1}) + \ln (x - 1)}$

Passaggio 2.5

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$e^{\ln ({(x + 1)}^{- 1} (x - 1))}$

Passaggio 2.6

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

${(x + 1)}^{- 1} (x - 1)$

Passaggio 2.7

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x + 1} (x - 1)$

Passaggio 2.8

Moltiplica $\frac{1}{x + 1}$ per $x - 1$ .

$\frac{x - 1}{x + 1}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $\frac{x - 1}{x + 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $\frac{x - 1}{x + 1}$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} \frac{d y}{d x} + \frac{x - 1}{x + 1} (\frac{2}{x^{2} - 1} y) = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

$\frac{x - 1}{x + 1}$ e $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{x - 1}{x + 1} (\frac{2}{x^{2} - 1} y) = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{x - 1}{x + 1} (\frac{2}{x^{2} - 1^{2}} y) = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Passaggio 3.2.2.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{x - 1}{x + 1} (\frac{2}{(x + 1) (x - 1)} y) = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Passaggio 3.2.3

$\frac{2}{(x + 1) (x - 1)}$ e $y$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{2 y}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Passaggio 3.2.4

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Scomponi $x - 1$ da $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{2 y}{(x - 1) (x + 1)} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Passaggio 3.2.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{2 y}{(x - 1) (x + 1)} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Passaggio 3.2.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{2 y}{x + 1} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Passaggio 3.2.5

Moltiplica $\frac{1}{x + 1}$ per $\frac{2 y}{x + 1}$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{2 y}{(x + 1) (x + 1)} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Passaggio 3.2.6

Eleva $x + 1$ alla potenza di $1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Passaggio 3.2.7

Eleva $x + 1$ alla potenza di $1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Passaggio 3.2.8

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{1 + 1}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Passaggio 3.2.9

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Passaggio 3.3

Per scrivere $\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Passaggio 3.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di ${(x + 1)}^{2}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Moltiplica $\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1}$ per $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1)}{(x + 1) (x + 1)} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Passaggio 3.4.2

Eleva $x + 1$ alla potenza di $1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Passaggio 3.4.3

Eleva $x + 1$ alla potenza di $1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Passaggio 3.4.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{1 + 1}} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Passaggio 3.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Passaggio 3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1) + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Passaggio 3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(x \frac{d y}{d x} - 1 \frac{d y}{d x}) (x + 1) + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Passaggio 3.6.2

Riscrivi $- 1 \frac{d y}{d x}$ come $- \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{(x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x}) (x + 1) + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Passaggio 3.6.3

Espandi $(x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x}) (x + 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \frac{d y}{d x} (x + 1) - \frac{d y}{d x} (x + 1) + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Passaggio 3.6.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \frac{d y}{d x} x + x \frac{d y}{d x} \cdot 1 - \frac{d y}{d x} (x + 1) + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Passaggio 3.6.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \frac{d y}{d x} x + x \frac{d y}{d x} \cdot 1 - \frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} \cdot 1 + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Passaggio 3.6.4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.4.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.4.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{x \cdot x \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} \cdot 1 - \frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} \cdot 1 + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Passaggio 3.6.4.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} \cdot 1 - \frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} \cdot 1 + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Passaggio 3.6.4.1.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} \cdot 1 + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Passaggio 3.6.4.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Passaggio 3.6.4.2

Sottrai $\frac{d y}{d x} x$ da $x \frac{d y}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.4.2.1

Sposta $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} - 1 x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Passaggio 3.6.4.2.2

Sottrai $x \frac{d y}{d x}$ da $x \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} + 0 - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Passaggio 3.6.4.3

Somma $x^{2} \frac{d y}{d x}$ e $0$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Passaggio 3.7

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Scomponi $x + 1$ da ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x + 1) (x + 1)}{x^{2} - 1}$

Passaggio 3.7.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x + 1) (x + 1)}{x^{2} - 1}$

Passaggio 3.7.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = (x - 1) \frac{x + 1}{x^{2} - 1}$

Passaggio 3.8

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = (x - 1) \frac{x + 1}{x^{2} - 1^{2}}$

Passaggio 3.8.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = (x - 1) \frac{x + 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 3.9

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1

Scomponi $x - 1$ da $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = (x - 1) \frac{x + 1}{(x - 1) (x + 1)}$

Passaggio 3.9.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = (x - 1) \frac{x + 1}{(x - 1) (x + 1)}$

Passaggio 3.9.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x + 1}{x + 1}$

Passaggio 3.10

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x + 1}{x + 1}$

Passaggio 3.10.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = 1$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1} y] = 1$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1} y] d x = \int d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$\frac{x - 1}{x + 1} y = \int d x$

Passaggio 7

Applica la regola costante.

$\frac{x - 1}{x + 1} y = x + C$

Passaggio 8

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Semplifica $\frac{x - 1}{x + 1} y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

$\frac{x - 1}{x + 1}$ e $y$ .

$\frac{(x - 1) y}{x + 1} = x + C$

Passaggio 8.1.2

Riordina i fattori in $\frac{(x - 1) y}{x + 1}$ .

$\frac{y (x - 1)}{x + 1} = x + C$

Passaggio 8.2

Moltiplica ogni lato per $x + 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x + 1} (x + 1) = (x + C) (x + 1)$

Passaggio 8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Semplifica $\frac{y (x - 1)}{x + 1} (x + 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1.1

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1.1.1

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (x - 1)}{x + 1} (x + 1) = (x + C) (x + 1)$

Passaggio 8.3.1.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y (x - 1) = (x + C) (x + 1)$

Passaggio 8.3.1.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y x + y \cdot - 1 = (x + C) (x + 1)$

Passaggio 8.3.1.1.1.3

Sposta $- 1$ alla sinistra di $y$ .

$y x - 1 \cdot y = (x + C) (x + 1)$

Passaggio 8.3.1.1.2

Riscrivi $- 1 y$ come $- y$ .

$y x - y = (x + C) (x + 1)$

Passaggio 8.3.1.1.3

Riordina $y$ e $x$ .

$x y - y = (x + C) (x + 1)$

Passaggio 8.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Semplifica $(x + C) (x + 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1.1

Espandi $(x + C) (x + 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$x y - y = x (x + 1) + C (x + 1)$

Passaggio 8.3.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$x y - y = x \cdot x + x \cdot 1 + C (x + 1)$

Passaggio 8.3.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$x y - y = x \cdot x + x \cdot 1 + C x + C \cdot 1$

Passaggio 8.3.2.1.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x y - y = x^{2} + x \cdot 1 + C x + C \cdot 1$

Passaggio 8.3.2.1.2.1.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x y - y = x^{2} + x + C x + C \cdot 1$

Passaggio 8.3.2.1.2.1.3

Moltiplica $C$ per $1$ .

$x y - y = x^{2} + x + C x + C$

Passaggio 8.3.2.1.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1.2.2.1

Sposta $x$ .

$x y - y = x^{2} + C x + C + x$

Passaggio 8.3.2.1.2.2.2

Riordina $x^{2}$ e $C x$ .

$x y - y = C x + x^{2} + C + x$

Passaggio 8.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1

Scomponi $y$ da $x y - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1.1

Scomponi $y$ da $x y$ .

$y x - y = C x + x^{2} + C + x$

Passaggio 8.4.1.2

Scomponi $y$ da $- y$ .

$y x + y \cdot - 1 = C x + x^{2} + C + x$

Passaggio 8.4.1.3

Scomponi $y$ da $y x + y \cdot - 1$ .

$y (x - 1) = C x + x^{2} + C + x$

Passaggio 8.4.2

Dividi per $x - 1$ ciascun termine in $y (x - 1) = C x + x^{2} + C + x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.1

Dividi per $x - 1$ ciascun termine in $y (x - 1) = C x + x^{2} + C + x$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{C x}{x - 1} + \frac{x^{2}}{x - 1} + \frac{C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Passaggio 8.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{C x}{x - 1} + \frac{x^{2}}{x - 1} + \frac{C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Passaggio 8.4.2.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{C x}{x - 1} + \frac{x^{2}}{x - 1} + \frac{C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Passaggio 8.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.3.1

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.3.1.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{C x + x^{2}}{x - 1} + \frac{C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Passaggio 8.4.2.3.1.2

Scomponi $x$ da $C x + x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.3.1.2.1

Scomponi $x$ da $C x$ .

$y = \frac{x C + x^{2}}{x - 1} + \frac{C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Passaggio 8.4.2.3.1.2.2

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$y = \frac{x C + x \cdot x}{x - 1} + \frac{C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Passaggio 8.4.2.3.1.2.3

Scomponi $x$ da $x C + x \cdot x$ .

$y = \frac{x (C + x)}{x - 1} + \frac{C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Passaggio 8.4.2.3.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{x (C + x) + C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Passaggio 8.4.2.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{x C + x \cdot x + C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Passaggio 8.4.2.3.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y = \frac{x C + x^{2} + C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Passaggio 8.4.2.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{x C + x^{2} + C + x}{x - 1}$

Passaggio 8.4.2.3.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.3.4.1

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.3.4.1.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$y = \frac{x C + x^{2} + C + x}{x - 1}$

Passaggio 8.4.2.3.4.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$y = \frac{x (C + x) + 1 (C + x)}{x - 1}$

Passaggio 8.4.2.3.4.2

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $C + x$ .

$y = \frac{(C + x) (x + 1)}{x - 1}$