Calcolo Esempi

$e^{x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x} y = 1$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Passaggio 1.1

Dividi per $e^{x}$ ciascun termine in $e^{x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x} y = 1$ .

$\frac{e^{x} \frac{d y}{d x}}{e^{x}} + \frac{2 e^{x} y}{e^{x}} = \frac{1}{e^{x}}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $e^{x}$ .

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Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{x} \frac{d y}{d x}}{e^{x}} + \frac{2 e^{x} y}{e^{x}} = \frac{1}{e^{x}}$

Passaggio 1.2.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 e^{x} y}{e^{x}} = \frac{1}{e^{x}}$

Passaggio 1.3

Elimina il fattore comune di $e^{x}$ .

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Passaggio 1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 e^{x} y}{e^{x}} = \frac{1}{e^{x}}$

Passaggio 1.3.2

Dividi $2 y$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{1}{e^{x}}$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = 2$ .

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Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int 2 d x}$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$e^{2 x + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{2 x}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{2 x}$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + e^{2 x} (2 y) = e^{2 x} \frac{1}{e^{x}}$

Passaggio 3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} \frac{1}{e^{x}}$

Passaggio 3.3

$e^{2 x}$ e $\frac{1}{e^{x}}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = \frac{e^{2 x}}{e^{x}}$

Passaggio 3.4

Elimina il fattore comune di $e^{2 x}$ e $e^{x}$ .

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Passaggio 3.4.1

Scomponi $e^{x}$ da $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = \frac{e^{x} e^{x}}{e^{x}}$

Passaggio 3.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Moltiplica per $1$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = \frac{e^{x} e^{x}}{e^{x} \cdot 1}$

Passaggio 3.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = \frac{e^{x} e^{x}}{e^{x} \cdot 1}$

Passaggio 3.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = \frac{e^{x}}{1}$

Passaggio 3.4.2.4

Dividi $e^{x}$ per $1$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{x}$

Passaggio 3.5

Riordina i fattori in $e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 y e^{2 x} = e^{x}$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] = e^{x}$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] d x = \int e^{x} d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$e^{2 x} y = \int e^{x} d x$

Passaggio 7

L'integrale di $e^{x}$ rispetto a $x$ è $e^{x}$ .

$e^{2 x} y = e^{x} + C$

Passaggio 8

Dividi per $e^{2 x}$ ciascun termine in $e^{2 x} y = e^{x} + C$ e semplifica.

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Passaggio 8.1

Dividi per $e^{2 x}$ ciascun termine in $e^{2 x} y = e^{x} + C$ .

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{e^{x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{e^{x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{e^{x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Passaggio 8.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 8.3.1

Elimina il fattore comune di $e^{x}$ e $e^{2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Scomponi $e^{2 x}$ da $e^{x}$ .

$y = \frac{e^{2 x} e^{- x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Passaggio 8.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.2.1

Moltiplica per $1$ .

$y = \frac{e^{2 x} e^{- x}}{e^{2 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Passaggio 8.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{e^{2 x} e^{- x}}{e^{2 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Passaggio 8.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{e^{- x}}{1} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Passaggio 8.3.1.2.4

Dividi $e^{- x}$ per $1$ .

$y = e^{- x} + \frac{C}{e^{2 x}}$