Calcolo Esempi

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 4 \frac{d y}{d x} + 4 y = 2 x + 6$

Passaggio 1

Presupponi che tutte le soluzioni siano del tipo $y = e^{r x}$ .

Passaggio 2

Trova l'equazione caratteristica per $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 4 \frac{d y}{d x} + 4 y = 2 x + 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

Passaggio 2.3

Sostituisci nell'equazione differenziale.

$r^{2} e^{r x} + 4 (r e^{r x}) + 4 e^{r x} = 2 x + 6$

Passaggio 2.4

Rimuovi le parentesi.

$r^{2} e^{r x} + 4 r e^{r x} + 4 e^{r x} = 2 x + 6$

Passaggio 2.5

Metti in evidenza $e^{r x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Scomponi $e^{r x}$ da $r^{2} e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + 4 r e^{r x} + 4 e^{r x} = 2 x + 6$

Passaggio 2.5.2

Scomponi $e^{r x}$ da $4 r e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} (4 r) + 4 e^{r x} = 2 x + 6$

Passaggio 2.5.3

Scomponi $e^{r x}$ da $e^{r x} r^{2} + e^{r x} (4 r)$ .

$e^{r x} (r^{2} + 4 r) + 4 e^{r x} = 2 x + 6$

Passaggio 2.5.4

Scomponi $e^{r x}$ da $4 e^{r x}$ .

$e^{r x} (r^{2} + 4 r) + e^{r x} \cdot 4 = 2 x + 6$

Passaggio 2.5.5

Scomponi $e^{r x}$ da $e^{r x} (r^{2} + 4 r) + e^{r x} \cdot 4$ .

$e^{r x} (r^{2} + 4 r + 4) = 2 x + 6$

Passaggio 2.6

Poiché gli esponenziali non possono mai essere zero, dividi entrambi i lati per $e^{r x}$ .

$r^{2} + 4 r + 4 = 2 x + 6$

Passaggio 3

Risolvi per $r$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sposta tutti i termini sul lato sinistro dell'equazione e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sposta tutte le espressioni sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.1

Sottrai $2 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$r^{2} + 4 r + 4 - 2 x = 6$

Passaggio 3.1.1.2

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$r^{2} + 4 r + 4 - 2 x - 6 = 0$

Passaggio 3.1.2

Sottrai $6$ da $4$ .

$r^{2} + 4 r - 2 x - 2 = 0$

Passaggio 3.2

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.3

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 4$ e $c = - 2 x - 2$ nella formula quadratica e risolvi per $r$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 2 x - 2))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 x - 2)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.1.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot (- 2 x - 2)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.1.4

Moltiplica $- 2$ per $- 4$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.1.5

Moltiplica $- 4$ per $- 2$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x + 8}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.1.6

Somma $16$ e $8$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 x + 24}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.1.7

Scomponi $8$ da $8 x + 24$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.7.1

Scomponi $8$ da $8 x$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (x) + 24}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.1.7.2

Scomponi $8$ da $24$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 x + 8 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.1.7.3

Scomponi $8$ da $8 x + 8 \cdot 3$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.1.8

Riscrivi $8 (x + 3)$ come $2^{2} \cdot (2 (x + 3))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.8.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2) (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.1.8.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x + 3))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.1.8.3

Aggiungi le parentesi.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x + 3))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.1.9

Estrai i termini dal radicale.

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (x + 3)}}{2}$

Passaggio 3.4.3

Semplifica $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (x + 3)}}{2}$ .

$r = - 2 \pm \sqrt{2 (x + 3)}$

Passaggio 3.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 x - 2)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.1.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot (- 2 x - 2)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.1.4

Moltiplica $- 2$ per $- 4$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.1.5

Moltiplica $- 4$ per $- 2$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x + 8}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.1.6

Somma $16$ e $8$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 x + 24}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.1.7

Scomponi $8$ da $8 x + 24$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.7.1

Scomponi $8$ da $8 x$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (x) + 24}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.1.7.2

Scomponi $8$ da $24$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 x + 8 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.1.7.3

Scomponi $8$ da $8 x + 8 \cdot 3$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.1.8

Riscrivi $8 (x + 3)$ come $2^{2} \cdot (2 (x + 3))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.8.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2) (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.1.8.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x + 3))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.1.8.3

Aggiungi le parentesi.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x + 3))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.1.9

Estrai i termini dal radicale.

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (x + 3)}}{2}$

Passaggio 3.5.3

Semplifica $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (x + 3)}}{2}$ .

$r = - 2 \pm \sqrt{2 (x + 3)}$

Passaggio 3.5.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$r = - 2 + \sqrt{2 (x + 3)}$

Passaggio 3.6

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 x - 2)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot (- 2 x - 2)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.4

Moltiplica $- 2$ per $- 4$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.5

Moltiplica $- 4$ per $- 2$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x + 8}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.6

Somma $16$ e $8$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 x + 24}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.7

Scomponi $8$ da $8 x + 24$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.7.1

Scomponi $8$ da $8 x$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (x) + 24}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.7.2

Scomponi $8$ da $24$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 x + 8 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.7.3

Scomponi $8$ da $8 x + 8 \cdot 3$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.8

Riscrivi $8 (x + 3)$ come $2^{2} \cdot (2 (x + 3))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.8.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2) (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.8.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x + 3))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.8.3

Aggiungi le parentesi.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x + 3))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.9

Estrai i termini dal radicale.

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (x + 3)}}{2}$

Passaggio 3.6.3

Semplifica $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (x + 3)}}{2}$ .

$r = - 2 \pm \sqrt{2 (x + 3)}$

Passaggio 3.6.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$r = - 2 - \sqrt{2 (x + 3)}$

Passaggio 3.7

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$r = - 2 + \sqrt{2 (x + 3)}$

$r = - 2 - \sqrt{2 (x + 3)}$

$r = - 2 + \sqrt{2 (x + 3)}$

$r = - 2 - \sqrt{2 (x + 3)}$

Passaggio 4

Con i due valori trovati di $r$ , è possibile costruire due soluzioni.

$y_{1} = e^{(- 2 + \sqrt{2 (x + 3)}) x}$

$y_{2} = e^{(- 2 - \sqrt{2 (x + 3)}) x}$

Passaggio 5

Secondo il principio di sovrapposizione, la soluzione generale è una combinazione lineare delle due soluzioni di un'equazione differenziale lineare del secondo ordine omogenea.

$y = c_{1} e^{(- 2 + \sqrt{2 (x + 3)}) x} + c_{2} e^{(- 2 - \sqrt{2 (x + 3)}) x}$

Passaggio 6

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = c_{1} e^{- 2 x + \sqrt{2 (x + 3)} x} + c_{2} e^{(- 2 - \sqrt{2 (x + 3)}) x}$

Passaggio 6.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = c_{1} e^{- 2 x + \sqrt{2 (x + 3)} x} + c_{2} e^{- 2 x - \sqrt{2 (x + 3)} x}$