Calcolo Esempi

$x e^{- t} \frac{d x}{d t} = t$ given the initial condition that $x (0) = 1$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi per $x e^{- t}$ ciascun termine in $x e^{- t} \frac{d x}{d t} = t$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Dividi per $x e^{- t}$ ciascun termine in $x e^{- t} \frac{d x}{d t} = t$ .

$\frac{x e^{- t} \frac{d x}{d t}}{x e^{- t}} = \frac{t}{x e^{- t}}$

Passaggio 1.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x e^{- t} \frac{d x}{d t}}{x e^{- t}} = \frac{t}{x e^{- t}}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{e^{- t} \frac{d x}{d t}}{e^{- t}} = \frac{t}{x e^{- t}}$

Passaggio 1.1.2.2

Elimina il fattore comune di $e^{- t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{- t} \frac{d x}{d t}}{e^{- t}} = \frac{t}{x e^{- t}}$

Passaggio 1.1.2.2.2

Dividi $\frac{d x}{d t}$ per $1$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{t}{x e^{- t}}$

Passaggio 1.2

Raggruppa i fattori.

$\frac{d x}{d t} = \frac{t}{e^{- t}} \cdot \frac{1}{x}$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni lato per $x$ .

$x \frac{d x}{d t} = x (\frac{t}{e^{- t}} \cdot \frac{1}{x})$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Combina.

$x \frac{d x}{d t} = x \frac{t \cdot 1}{e^{- t} x}$

Passaggio 1.4.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Scomponi $x$ da $e^{- t} x$ .

$x \frac{d x}{d t} = x \frac{t \cdot 1}{x e^{- t}}$

Passaggio 1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$x \frac{d x}{d t} = x \frac{t \cdot 1}{x e^{- t}}$

Passaggio 1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x \frac{d x}{d t} = \frac{t \cdot 1}{e^{- t}}$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $t$ per $1$ .

$x \frac{d x}{d t} = \frac{t}{e^{- t}}$

Passaggio 1.5

Riscrivi l'equazione.

$x d x = \frac{t}{e^{- t}} d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int x d x = \int \frac{t}{e^{- t}} d t$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int \frac{t}{e^{- t}} d t$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Nega l'esponente di $e^{- t}$ e rimuovilo dal denominatore.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int t {(e^{- t})}^{- 1} d t$

Passaggio 2.3.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{- t})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int t e^{- t \cdot - 1} d t$

Passaggio 2.3.1.2.2

Moltiplica $- t \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int t e^{1 t} d t$

Passaggio 2.3.1.2.2.2

Moltiplica $t$ per $1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

Passaggio 2.3.2

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = t$ e $d v = e^{t}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = t e^{t} - \int e^{t} d t$

Passaggio 2.3.3

L'integrale di $e^{t}$ rispetto a $t$ è $e^{t}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = t e^{t} - (e^{t} + C_{2})$

Passaggio 2.3.4

Semplifica.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = t e^{t} - e^{t} + C_{2}$

Passaggio 2.3.5

Riordina i termini.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = e^{t} t - e^{t} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{2} x^{2} = e^{t} t - e^{t} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2}) = 2 (e^{t} t - e^{t} + K)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} x^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$2 \frac{x^{2}}{2} = 2 (e^{t} t - e^{t} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{x^{2}}{2} = 2 (e^{t} t - e^{t} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} = 2 (e^{t} t - e^{t} + K)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $2 (e^{t} t - e^{t} + K)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} = 2 (e^{t} t) + 2 (- e^{t}) + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$x^{2} = 2 e^{t} t - 2 e^{t} + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.3

Riordina i fattori in $2 e^{t} t - 2 e^{t} + 2 K$ .

$x^{2} = 2 t e^{t} - 2 e^{t} + 2 K$

Passaggio 3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{2 t e^{t} - 2 e^{t} + 2 K}$

Passaggio 3.4

Scomponi $2$ da $2 t e^{t} - 2 e^{t} + 2 K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Scomponi $2$ da $2 t e^{t}$ .

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t}) - 2 e^{t} + 2 K}$

Passaggio 3.4.2

Scomponi $2$ da $- 2 e^{t}$ .

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t}) + 2 (- e^{t}) + 2 K}$

Passaggio 3.4.3

Scomponi $2$ da $2 K$ .

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t}) + 2 (- e^{t}) + 2 K}$

Passaggio 3.4.4

Scomponi $2$ da $2 (t e^{t}) + 2 (- e^{t})$ .

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t}) + 2 K}$

Passaggio 3.4.5

Scomponi $2$ da $2 (t e^{t} - e^{t}) + 2 K$ .

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

Passaggio 3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

Passaggio 3.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

Passaggio 3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = - \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = - \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = - \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

Passaggio 4

Poiché $x$ è positiva nella condizione iniziale $(0, 1)$ , considera solo $x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$ per calcolare $K$ . Sostituisci $0$ a $t$ e $1$ a $x$ .

$1 = \sqrt{2 (0 e^{0} - e^{0} + K)}$

Passaggio 5

Risolvi per $K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione come $\sqrt{2 (0 e^{0} - e^{0} + K)} = 1$ .

$\sqrt{2 (0 e^{0} - e^{0} + K)} = 1$

Passaggio 5.2

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{2 (0 e^{0} - e^{0} + K)}}^{2} = 1^{2}$

Passaggio 5.3

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2 (0 e^{0} - e^{0} + K)}$ come ${(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Semplifica ${({(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Passaggio 5.3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Passaggio 5.3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{1} = 1^{2}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.2.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

${(2 (0 \cdot 1 - e^{0} + K))}^{1} = 1^{2}$

Passaggio 5.3.2.1.2.2

Moltiplica $0$ per $1$ .

${(2 (0 - e^{0} + K))}^{1} = 1^{2}$

Passaggio 5.3.2.1.2.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

${(2 (0 - 1 \cdot 1 + K))}^{1} = 1^{2}$

Passaggio 5.3.2.1.2.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

${(2 (0 - 1 + K))}^{1} = 1^{2}$

Passaggio 5.3.2.1.3

Semplifica moltiplicando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.3.1

Sottrai $1$ da $0$ .

${(2 (- 1 + K))}^{1} = 1^{2}$

Passaggio 5.3.2.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

${(2 \cdot - 1 + 2 K)}^{1} = 1^{2}$

Passaggio 5.3.2.1.3.3

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.3.3.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

${(- 2 + 2 K)}^{1} = 1^{2}$

Passaggio 5.3.2.1.3.3.2

Semplifica.

$- 2 + 2 K = 1^{2}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- 2 + 2 K = 1$

Passaggio 5.4

Risolvi per $K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Sposta tutti i termini non contenenti $K$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 K = 1 + 2$

Passaggio 5.4.1.2

Somma $1$ e $2$ .

$2 K = 3$

Passaggio 5.4.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 K = 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 K = 3$ .

$\frac{2 K}{2} = \frac{3}{2}$

Passaggio 5.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 K}{2} = \frac{3}{2}$

Passaggio 5.4.2.2.1.2

Dividi $K$ per $1$ .

$K = \frac{3}{2}$

Passaggio 6

Sostituisci $\frac{3}{2}$ a $K$ in $x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci $\frac{3}{2}$ a $K$ .

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + \frac{3}{2})}$

Passaggio 6.2

Riordina i termini.

$x = \sqrt{2 (e^{t} t + \frac{3}{2} - e^{t})}$

Passaggio 6.3

Per scrivere $e^{t} t$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = \sqrt{2 (e^{t} t \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2} - e^{t})}$

Passaggio 6.4

$e^{t} t$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \sqrt{2 (\frac{e^{t} t \cdot 2}{2} + \frac{3}{2} - e^{t})}$

Passaggio 6.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \sqrt{2 (\frac{e^{t} t \cdot 2 + 3}{2} - e^{t})}$

Passaggio 6.6

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{t} t$ .

$x = \sqrt{2 (\frac{2 e^{t} t + 3}{2} - e^{t})}$

Passaggio 6.7

Per scrivere $- e^{t}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = \sqrt{2 (\frac{2 e^{t} t + 3}{2} - e^{t} \cdot \frac{2}{2})}$

Passaggio 6.8

$- e^{t}$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \sqrt{2 (\frac{2 e^{t} t + 3}{2} + \frac{- e^{t} \cdot 2}{2})}$

Passaggio 6.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \sqrt{2 \frac{2 e^{t} t + 3 - e^{t} \cdot 2}{2}}$

Passaggio 6.10

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$x = \sqrt{2 \frac{2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}}{2}}$

Passaggio 6.11

$2$ e $\frac{2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}}{2}$ .

$x = \sqrt{\frac{2 (2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t})}{2}}$

Passaggio 6.12

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.12.1

Riduci l'espressione $\frac{2 (2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t})}{2}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.12.1.1

Elimina il fattore comune.

$x = \sqrt{\frac{2 (2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t})}{2}}$

Passaggio 6.12.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \sqrt{\frac{2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}}{1}}$

Passaggio 6.12.2

Dividi $2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}$ per $1$ .

$x = \sqrt{2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}}$

Passaggio 6.13

Riordina i fattori in $x = \sqrt{2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}}$ .

$x = \sqrt{2 t e^{t} + 3 - 2 e^{t}}$