Calcolo Esempi

$(3 x y + 3 y - 4) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = 3 x y + 3 y - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x y + 3 y - 4]$

Passaggio 1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x y + 3 y - 4$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [- 4]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [- 4]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [3 x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $3 x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $3 x y$ rispetto a $y$ è $3 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [- 4]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [- 4]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + \frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [- 4]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d y} [3 y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $3 y$ rispetto a $y$ è $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + 3 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 4]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 4]$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + 3 + \frac{d}{d y} [- 4]$

Passaggio 1.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + 3 + 0$

Passaggio 1.5.2

Somma $3 x + 3$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + 3$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = {(x + 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]$

Passaggio 2.2

Riscrivi ${(x + 1)}^{2}$ come $(x + 1) (x + 1)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [(x + 1) (x + 1)]$

Passaggio 2.3

Espandi $(x + 1) (x + 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (x + 1) + 1 (x + 1)]$

Passaggio 2.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)]$

Passaggio 2.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1]$

Passaggio 2.4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1]$

Passaggio 2.4.1.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1]$

Passaggio 2.4.1.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + x + x + 1 \cdot 1]$

Passaggio 2.4.1.4

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + x + x + 1]$

Passaggio 2.4.2

Somma $x$ e $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

Passaggio 2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 2 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.7

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.9

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.10

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 + 0$

Passaggio 2.11

Somma $2 x + 2$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $3 x + 3$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2 x + 2$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$3 x + 3 = 2 x + 2$

Passaggio 3.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$3 x + 3 = 2 x + 2$ non è un'identità.

Passaggio 4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $3 x + 3$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{3 x + 3 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Passaggio 4.2

Sostituisci $2 x + 2$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{3 x + 3 - (2 x + 2)}{N}$

Passaggio 4.3

Sostituisci ${(x + 1)}^{2}$ a $N$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci ${(x + 1)}^{2}$ a $N$ .

$\frac{3 x + 3 - (2 x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 x + 3 - (2 x) - 1 \cdot 2}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.3.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{3 x + 3 - 2 x - 1 \cdot 2}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.3.2.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{3 x + 3 - 2 x - 2}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.3.2.4

Sottrai $2 x$ da $3 x$ .

$\frac{x + 3 - 2}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.3.2.5

Sottrai $2$ da $3$ .

$\frac{x + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.3.3

Elimina il fattore comune di $x + 1$ e ${(x + 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.2.1

Scomponi $x + 1$ da ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 1}{(x + 1) (x + 1)}$

Passaggio 4.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x + 1) \cdot 1}{(x + 1) (x + 1)}$

Passaggio 4.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{x + 1}$

Passaggio 4.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x + 1} d x}$

Passaggio 5

Valuta l'integrale $e^{\int \frac{1}{x + 1} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sia $u = x + 1$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Sia $u = x + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1

Differenzia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 5.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.1.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 5.1.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 5.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{u} d u}$

Passaggio 5.2

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| u |) + C}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{\ln (| u |)} + C$

Passaggio 5.4

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$μ (x, y) = | u | + C$

Passaggio 5.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 1$ .

$μ (x, y) = | x + 1 | + C$

Passaggio 6

Moltiplica entrambi i lati di $(3 x y + 3 y - 4) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$ per il fattore di integrazione $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $3 x y + 3 y - 4$ per $x + 1$ .

$(3 x y + 3 y - 4) (x + 1) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

Passaggio 6.2

Espandi $(3 x y + 3 y - 4) (x + 1)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$(3 x y x + 3 x y \cdot 1 + 3 y x + 3 y \cdot 1 - 4 x - 4 \cdot 1) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

Passaggio 6.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1

Sposta $x$ .

$(3 (x \cdot x) y + 3 x y \cdot 1 + 3 y x + 3 y \cdot 1 - 4 x - 4 \cdot 1) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

Passaggio 6.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$(3 x^{2} y + 3 x y \cdot 1 + 3 y x + 3 y \cdot 1 - 4 x - 4 \cdot 1) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

Passaggio 6.3.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$(3 x^{2} y + 3 x y + 3 y x + 3 y \cdot 1 - 4 x - 4 \cdot 1) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

Passaggio 6.3.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$(3 x^{2} y + 3 x y + 3 y x + 3 y - 4 x - 4 \cdot 1) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

Passaggio 6.3.4

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$(3 x^{2} y + 3 x y + 3 y x + 3 y - 4 x - 4) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

Passaggio 6.4

Somma $3 x y$ e $3 y x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Sposta $y$ .

$(3 x^{2} y + 3 x y + 3 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

Passaggio 6.4.2

Somma $3 x y$ e $3 x y$ .

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

Passaggio 6.5

Moltiplica ${(x + 1)}^{2}$ per $x + 1$ .

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + {(x + 1)}^{2} (x + 1) d y = 0$

Passaggio 6.6

Moltiplica ${(x + 1)}^{2}$ per $x + 1$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1

Moltiplica ${(x + 1)}^{2}$ per $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1.1

Eleva $x + 1$ alla potenza di $1$ .

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + {(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{1} d y = 0$

Passaggio 6.6.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + {(x + 1)}^{2 + 1} d y = 0$

Passaggio 6.6.2

Somma $2$ e $1$ .

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + {(x + 1)}^{3} d y = 0$

Passaggio 6.7

Usa il teorema binomiale.

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + (x^{3} + 3 x^{2} \cdot 1 + 3 x \cdot 1^{2} + 1^{3}) d y = 0$

Passaggio 6.8

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.1

Moltiplica $3$ per $1$ .

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x \cdot 1^{2} + 1^{3}) d y = 0$

Passaggio 6.8.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x \cdot 1 + 1^{3}) d y = 0$

Passaggio 6.8.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1^{3}) d y = 0$

Passaggio 6.8.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) d y = 0$

Passaggio 7

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1 d y$

Passaggio 8

Integra $N (x, y) = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Applica la regola costante.

$f (x, y) = (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y + C$

Passaggio 9

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y + g (x)$

Passaggio 10

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Passaggio 11

Trova $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y + g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Passaggio 11.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y + g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Passaggio 11.3

Calcola $\frac{d}{d x} [(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y$ rispetto a $x$ è $y \frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1]$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Passaggio 11.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$y (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Passaggio 11.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$y (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Passaggio 11.3.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y (3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Passaggio 11.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$y (3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Passaggio 11.3.6

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y (3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Passaggio 11.3.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$y (3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Passaggio 11.3.8

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$y (3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Passaggio 11.3.9

Moltiplica $2$ per $3$ .

$y (3 x^{2} + 6 x + 3 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Passaggio 11.3.10

Moltiplica $3$ per $1$ .

$y (3 x^{2} + 6 x + 3 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Passaggio 11.3.11

Somma $3 x^{2} + 6 x + 3$ e $0$ .

$y (3 x^{2} + 6 x + 3) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Passaggio 11.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (x)$ è $\frac{d g}{d x}$ .

$y (3 x^{2} + 6 x + 3) + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Passaggio 11.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$y (3 x^{2}) + y (6 x) + y \cdot 3 + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Passaggio 11.5.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.2.1

Sposta $3$ alla sinistra di $y$ .

$3 \cdot y x^{2} + y (6 x) + y \cdot 3 + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Passaggio 11.5.2.2

Sposta $6$ alla sinistra di $y$ .

$3 y x^{2} + 6 \cdot y x + y \cdot 3 + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Passaggio 11.5.2.3

Sposta $3$ alla sinistra di $y$ .

$3 y x^{2} + 6 y x + 3 y + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Passaggio 11.5.3

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Passaggio 12

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

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Passaggio 12.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 12.1.1

Sottrai $3 x^{2} y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} + 6 x y + 3 y = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4 - 3 x^{2} y$

Passaggio 12.1.2

Sottrai $6 x y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} + 3 y = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4 - 3 x^{2} y - 6 x y$

Passaggio 12.1.3

Sottrai $3 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4 - 3 x^{2} y - 6 x y - 3 y$

Passaggio 12.1.4

Combina i termini opposti in $3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4 - 3 x^{2} y - 6 x y - 3 y$ .

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Passaggio 12.1.4.1

Sottrai $3 x^{2} y$ da $3 x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d x} = 6 x y + 3 y - 4 x - 4 + 0 - 6 x y - 3 y$

Passaggio 12.1.4.2

Somma $6 x y + 3 y - 4 x - 4$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 6 x y + 3 y - 4 x - 4 - 6 x y - 3 y$

Passaggio 12.1.4.3

Sottrai $6 x y$ da $6 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 y - 4 x - 4 + 0 - 3 y$

Passaggio 12.1.4.4

Somma $3 y - 4 x - 4$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 y - 4 x - 4 - 3 y$

Passaggio 12.1.4.5

Sottrai $3 y$ da $3 y$ .

$\frac{d g}{d x} = - 4 x - 4 + 0$

Passaggio 12.1.4.6

Somma $- 4 x - 4$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - 4 x - 4$

Passaggio 13

Trova l'antiderivata di $- 4 x - 4$ per trovare $g (x)$ .

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Passaggio 13.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d x} = - 4 x - 4$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - 4 x - 4 d x$

Passaggio 13.2

Calcola $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - 4 x - 4 d x$

Passaggio 13.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$g (x) = \int - 4 x d x + \int - 4 d x$

Passaggio 13.4

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 4$ fuori dall'integrale.

$g (x) = - 4 \int x d x + \int - 4 d x$

Passaggio 13.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 4 d x$

Passaggio 13.6

Applica la regola costante.

$g (x) = - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 4 x + C$

Passaggio 13.7

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$g (x) = - 4 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 4 x + C$

Passaggio 13.8

Semplifica.

$g (x) = - 2 x^{2} - 4 x + C$

Passaggio 14

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y + g (x)$ .

$f (x, y) = (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y - 2 x^{2} - 4 x + C$

Passaggio 15

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 15.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (x, y) = x^{3} y + 3 x^{2} y + 3 x y + 1 y - 2 x^{2} - 4 x + C$

Passaggio 15.2

Moltiplica $y$ per $1$ .

$f (x, y) = x^{3} y + 3 x^{2} y + 3 x y + y - 2 x^{2} - 4 x + C$