Calcolo Esempi

$2 \frac{d y}{d x} + 4 y = 6 x$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \frac{d y}{d x} + 4 y = 6 x$ .

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} + \frac{4 y}{2} = \frac{6 x}{2}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} + \frac{4 y}{2} = \frac{6 x}{2}$

Passaggio 1.2.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{4 y}{2} = \frac{6 x}{2}$

Passaggio 1.3

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Scomponi $2$ da $4 y$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 (2 y)}{2} = \frac{6 x}{2}$

Passaggio 1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 (2 y)}{2 (1)} = \frac{6 x}{2}$

Passaggio 1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 (2 y)}{2 \cdot 1} = \frac{6 x}{2}$

Passaggio 1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{1} = \frac{6 x}{2}$

Passaggio 1.3.2.4

Dividi $2 y$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{6 x}{2}$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $6$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Scomponi $2$ da $6 x$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{2 (3 x)}{2}$

Passaggio 1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{2 (3 x)}{2 (1)}$

Passaggio 1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{2 (3 x)}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{3 x}{1}$

Passaggio 1.4.2.4

Dividi $3 x$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 y = 3 x$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int 2 d x}$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$e^{2 x + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{2 x}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + e^{2 x} (2 y) = e^{2 x} (3 x)$

Passaggio 3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} (3 x)$

Passaggio 3.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 3 e^{2 x} x$

Passaggio 3.4

Riordina i fattori in $e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 3 e^{2 x} x$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 y e^{2 x} = 3 x e^{2 x}$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] = 3 x e^{2 x}$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] d x = \int 3 x e^{2 x} d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$e^{2 x} y = \int 3 x e^{2 x} d x$

Passaggio 7

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$e^{2 x} y = 3 \int x e^{2 x} d x$

Passaggio 7.2

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = 3 (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Passaggio 7.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

$\frac{1}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = 3 (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Passaggio 7.3.2

$x$ e $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} y = 3 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Passaggio 7.3.3

$\frac{1}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = 3 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x)$

Passaggio 7.4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$e^{2 x} y = 3 (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x))$

Passaggio 7.5

Sia $u = 2 x$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Sia $u = 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 7.5.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 7.5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 7.5.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 7.5.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{2 x} y = 3 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u)$

Passaggio 7.6

$e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = 3 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

Passaggio 7.7

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$e^{2 x} y = 3 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

Passaggio 7.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = 3 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Passaggio 7.8.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$e^{2 x} y = 3 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Passaggio 7.9

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$e^{2 x} y = 3 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

Passaggio 7.10

Riscrivi $3 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ come $3 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ .

$e^{2 x} y = 3 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Passaggio 7.11

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$e^{2 x} y = 3 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

Passaggio 8

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

$e^{2 x}$ e $\frac{1}{4}$ .

$e^{2 x} y = 3 (\frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) - \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Passaggio 8.1.2

Rimuovi le parentesi.

$e^{2 x} y = 3 (\frac{1}{2} \cdot x e^{2 x} - \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Passaggio 8.2

Dividi per $e^{2 x}$ ciascun termine in $e^{2 x} y = 3 (\frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) - \frac{e^{2 x}}{4}) + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Dividi per $e^{2 x}$ ciascun termine in $e^{2 x} y = 3 (\frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) - \frac{e^{2 x}}{4}) + C$ .

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{3 (\frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) - \frac{e^{2 x}}{4})}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{3 (\frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) - \frac{e^{2 x}}{4})}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Passaggio 8.2.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{3 (\frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) - \frac{e^{2 x}}{4})}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Passaggio 8.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1.1.1

Scomponi $e^{2 x}$ da $\frac{1}{2} \cdot x e^{2 x} - \frac{e^{2 x}}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1.1.1.1

Scomponi $e^{2 x}$ da $\frac{1}{2} \cdot x e^{2 x}$ .

$y = \frac{3 (e^{2 x} (\frac{1}{2} \cdot x) - \frac{e^{2 x}}{4})}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Passaggio 8.2.3.1.1.1.2

Scomponi $e^{2 x}$ da $- \frac{e^{2 x}}{4}$ .

$y = \frac{3 (e^{2 x} (\frac{1}{2} \cdot x) + e^{2 x} (- \frac{1}{4}))}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Passaggio 8.2.3.1.1.1.3

Scomponi $e^{2 x}$ da $e^{2 x} (\frac{1}{2} \cdot x) + e^{2 x} (- \frac{1}{4})$ .

$y = \frac{3 (e^{2 x} (\frac{1}{2} \cdot x - \frac{1}{4}))}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Passaggio 8.2.3.1.1.2

$\frac{1}{2}$ e $x$ .

$y = \frac{3 e^{2 x} (\frac{x}{2} - \frac{1}{4})}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Passaggio 8.2.3.1.1.3

Per scrivere $\frac{x}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{3 e^{2 x} (\frac{x}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{4})}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Passaggio 8.2.3.1.1.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $4$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1.1.4.1

Moltiplica $\frac{x}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{3 e^{2 x} (\frac{x \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{1}{4})}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Passaggio 8.2.3.1.1.4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y = \frac{3 e^{2 x} (\frac{x \cdot 2}{4} - \frac{1}{4})}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Passaggio 8.2.3.1.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{3 e^{2 x} \frac{x \cdot 2 - 1}{4}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Passaggio 8.2.3.1.1.6

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$y = \frac{3 e^{2 x} \frac{2 x - 1}{4}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Passaggio 8.2.3.1.1.7

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1.1.7.1

$\frac{2 x - 1}{4}$ e $3$ .

$y = \frac{\frac{(2 x - 1) \cdot 3}{4} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Passaggio 8.2.3.1.1.7.2

$\frac{(2 x - 1) \cdot 3}{4}$ e $e^{2 x}$ .

$y = \frac{\frac{(2 x - 1) \cdot 3 e^{2 x}}{4}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Passaggio 8.2.3.1.1.8

Sposta $3$ alla sinistra di $2 x - 1$ .

$y = \frac{\frac{3 (2 x - 1) e^{2 x}}{4}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Passaggio 8.2.3.1.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y = \frac{3 (2 x - 1) e^{2 x}}{4} \cdot \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Passaggio 8.2.3.1.3

Combina.

$y = \frac{3 (2 x - 1) e^{2 x} \cdot 1}{4 e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Passaggio 8.2.3.1.4

Elimina il fattore comune di $e^{2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{3 (2 x - 1) e^{2 x} \cdot 1}{4 e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Passaggio 8.2.3.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{3 (2 x - 1) \cdot 1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Passaggio 8.2.3.1.5

Moltiplica $3$ per $1$ .

$y = \frac{3 (2 x - 1)}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Passaggio 8.2.3.2

Per scrivere $\frac{3 (2 x - 1)}{4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{e^{2 x}}{e^{2 x}}$ .

$y = \frac{3 (2 x - 1)}{4} \cdot \frac{e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Passaggio 8.2.3.3

Per scrivere $\frac{C}{e^{2 x}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{3 (2 x - 1)}{4} \cdot \frac{e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}} \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 8.2.3.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $4 e^{2 x}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.4.1

Moltiplica $\frac{3 (2 x - 1)}{4}$ per $\frac{e^{2 x}}{e^{2 x}}$ .

$y = \frac{3 (2 x - 1) e^{2 x}}{4 e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}} \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 8.2.3.4.2

Moltiplica $\frac{C}{e^{2 x}}$ per $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{3 (2 x - 1) e^{2 x}}{4 e^{2 x}} + \frac{C \cdot 4}{e^{2 x} \cdot 4}$

Passaggio 8.2.3.4.3

Riordina i fattori di $e^{2 x} \cdot 4$ .

$y = \frac{3 (2 x - 1) e^{2 x}}{4 e^{2 x}} + \frac{C \cdot 4}{4 e^{2 x}}$

Passaggio 8.2.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{3 (2 x - 1) e^{2 x} + C \cdot 4}{4 e^{2 x}}$

Passaggio 8.2.3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{(3 (2 x) + 3 \cdot - 1) e^{2 x} + C \cdot 4}{4 e^{2 x}}$

Passaggio 8.2.3.6.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$y = \frac{(6 x + 3 \cdot - 1) e^{2 x} + C \cdot 4}{4 e^{2 x}}$

Passaggio 8.2.3.6.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$y = \frac{(6 x - 3) e^{2 x} + C \cdot 4}{4 e^{2 x}}$

Passaggio 8.2.3.6.4

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{6 x e^{2 x} - 3 e^{2 x} + C \cdot 4}{4 e^{2 x}}$

Passaggio 8.2.3.6.5

Sposta $4$ alla sinistra di $C$ .

$y = \frac{6 x e^{2 x} - 3 e^{2 x} + 4 C}{4 e^{2 x}}$